结论：父亲赠与儿子银行存款并告知密码由儿子办理转账的行为，在符合法定条件且程序合法的情况下是合法的，但需注意潜在风险和操作规范。 以下是具体分析：

1. 赠与行为的合法性

根据《民法典》第657条，赠与合同是赠与人将自己的财产无偿给予受赠人，受赠人表示接受的合同。父亲将银行存款赠与儿子属于民事法律行为，只要父亲具备完全民事行为能力（如意识清醒、未受胁迫），且赠与意思表示真实，该行为即合法有效。
关键点：

• 若父亲已丧失或部分丧失民事行为能力（如老年痴呆、昏迷等），则需由法定代理人（如配偶、其他子女）代为处理，否则赠与可能被撤销。
  
• 赠与财产需为父亲个人合法所有，若存款涉及夫妻共同财产（如婚后工资存款），需经配偶同意，否则可能构成无权处分。

2. 转账操作的合法性

儿子代为办理转账需满足以下条件：

• 授权合法：父亲需明确授权儿子代为操作（如书面委托、口头授权+银行认可方式）。若仅告知密码而未授权，儿子擅自操作可能涉嫌《刑法》第264条的盗窃罪（若父亲反对）或《刑法》第196条的信用卡诈骗罪（若使用银行卡转账且符合该罪构成要件）。
  
• 银行合规要求：根据《金融机构客户身份识别和客户身份资料及交易记录保存管理办法》，大额转账（如5万元以上）需核实账户所有人身份。若儿子代办，银行可能要求提供父亲身份证、授权委托书、父子关系证明（如户口本）等材料。若银行未严格审核，可能面临监管处罚，但不影响赠与合同效力。
  风险提示：
  
• 若父亲未留书面授权，儿子可能面临“无权代理”风险，银行有权拒绝操作或要求父亲本人确认。
  
• 若父亲去世后儿子才操作转账，可能涉嫌《刑法》第302条的侵占罪（若存款已转为遗产）。

3. 操作建议

为确保合法合规，建议采取以下步骤：

1. 书面赠与协议：父亲与儿子签订书面赠与合同，明确赠与金额、方式及双方权利义务，避免后续纠纷。
   
2. 公证授权：若父亲无法亲自到银行，可到公证处办理《委托书公证》，授权儿子代为办理转账，并明确授权范围（如转账金额、银行账户等）。
   
3. 银行合规操作：儿子代办时携带父亲身份证、本人身份证、授权委托书、赠与协议（如有）等材料，配合银行完成身份核验。
   
4. 税务合规：根据《个人所得税法》，直系亲属间赠与房产需缴纳契税，但银行存款赠与目前无需缴纳个人所得税。若存款涉及利息收入，需按《个人所得税法》第3条缴纳利息税（由银行代扣代缴）。

总结：父亲赠与儿子银行存款并告知密码由儿子代办转账的行为，在满足民事行为能力、真实意思表示、授权合法、银行合规等条件下是合法的。但为避免风险，建议通过书面协议、公证授权等方式完善手续。如有其他疑问，可进一步向我咨询。