针对您提出的“父亲去世，母亲能否立遗嘱”的问题，首先需要明确的是，母亲当然有权立遗嘱，这是基于我国法律对于公民个人财产处分权的基本规定。以下我将从几个方面为您详细解答：

一、遗嘱的基本法律概念

遗嘱是公民生前在法律允许的范围内，按照法律规定的方式对其遗产或其他事务所作的个人处理，并于创立遗嘱人死亡时发生效力的法律行为。这意味着，只要母亲具备完全民事行为能力，她就有权根据自己的意愿来安排自己的财产，包括在遗嘱中指定继承人、分配财产等。

二、母亲立遗嘱的法律依据

1. 《中华人民共和国民法典》：该法典明确规定了公民有权依法订立遗嘱处分个人财产。母亲作为具有完全民事行为能力的公民，自然享有这一权利。

2. 遗嘱的形式与效力：民法典还规定了遗嘱的多种形式，如自书遗嘱、代书遗嘱、录音遗嘱、口头遗嘱以及公证遗嘱等，并明确了各种形式遗嘱的有效要件。母亲可以根据自己的实际情况和需要，选择适合的遗嘱形式。

三、父亲去世对母亲立遗嘱的影响

1. 财产归属：父亲去世后，其遗产将按照法定继承或遗嘱继承的方式进行处理。如果父亲没有留下遗嘱，那么其遗产将由包括母亲在内的法定继承人共同继承。母亲在继承父亲遗产后，这些财产就成为了她的个人财产，她有权在遗嘱中进行处分。

2. 遗嘱内容：母亲在立遗嘱时，可以自由决定如何分配自己的财产，包括她继承自父亲的财产以及她个人原有的财产。她可以选择将财产留给某个或某些继承人，也可以选择将财产捐赠给慈善机构或其他组织。

四、注意事项

1. 遗嘱的真实性与合法性：母亲在立遗嘱时，必须确保遗嘱内容真实、合法，且是她本人的真实意愿表示。如果遗嘱存在瑕疵或违法情况，可能会导致遗嘱无效或部分无效。

2. 遗嘱的保管与执行：母亲在立好遗嘱后，应妥善保管遗嘱原件，并可以考虑将遗嘱的副本或相关信息告知信任的亲友或律师，以便在需要时能够及时找到并执行遗嘱。

3. 及时更新遗嘱：随着母亲年龄的增长和家庭情况的变化，她可能需要及时更新遗嘱内容，以确保遗嘱能够准确反映她的最新意愿。

综上所述，母亲在父亲去世后完全有权立遗嘱来安排自己的财产。如果您或母亲在立遗嘱过程中遇到任何疑问或需要进一步的法律帮助，请随时咨询专业的法律人士或机构。