针对您的情况，有权处理的部门主要是当地的城管部门（城市管理和综合执法局）或者住建部门（住房和城乡建设局），具体取决于当地的机构设置和职责划分。以下是从不同角度为您详细分析：
一、部门职责与法律依据
城管部门：
- 在许多地区，城管部门负责城市管理和综合执法，包括对建筑工地的监管。如果邻居在建造房屋过程中，未做好防护措施导致您家房屋被搞脏，这可能涉及到建筑工地管理、环境卫生等方面的违规行为，城管部门有权进行查处。
- 法律依据主要来源于地方性法规或规章，如《城市市容和环境卫生管理条例》等，这些法规通常规定了建筑工地应当采取的防护措施以及违反规定的处罚措施。
住建部门：
- 住建部门负责住房和城乡建设的规划、管理等工作。如果邻居的建造行为涉及到建筑安全、规划许可等方面的问题，住建部门有权进行监管和处理。
- 虽然您主要反映的是房屋被搞脏的问题，但如果这一行为是由于邻居建造房屋时未遵守建筑安全或规划许可等规定导致的，住建部门也可能介入调查。
二、处理流程与建议
收集证据：
- 在向相关部门投诉前，建议您先收集一些证据，如照片、视频等，以证明邻居的建造行为确实导致了您家房屋被搞脏。
向相关部门投诉：
- 根据您所在地区的机构设置和职责划分，选择向城管部门或住建部门投诉。投诉时，应详细说明情况，并提供相关证据。
等待处理结果：
- 相关部门在接到投诉后，会进行调查核实。如果确认邻居存在违规行为，会依法进行处罚，并要求其采取措施清理您家房屋上的污渍。
寻求法律援助：
- 如果相关部门未能及时处理或处理结果不满意，您可以考虑寻求法律援助。作为专业律师，我可以为您提供法律咨询和代理服务，帮助您维护合法权益。
三、可能涉及的法律后果
行政处罚：
- 如果邻居的建造行为违反了相关法规或规章，相关部门有权对其进行行政处罚，如罚款、责令停工等。
民事赔偿：
- 如果邻居的建造行为导致您家房屋受损或产生其他经济损失，您有权要求其进行民事赔偿。这可能需要通过诉讼或调解等方式解决。
最后，建议您在处理此类问题时保持冷静和理性，通过合法途径维护自己的权益。如果您在处理过程中遇到任何问题或需要进一步的法律帮助，请随时向我咨询。