结论前置：若用人单位在半年内未与劳动者续签劳动合同，且劳动者继续工作，用人单位需向劳动者支付双倍工资作为赔偿，赔偿月份通常为5个月（即从原合同到期后满一个月的次日起算，至实际补签或满一年前一日止，以半年未续签且未满一年为例）。具体赔偿金额需根据劳动者的月工资来计算。
详细分析：
法律依据：
- 根据《中华人民共和国劳动合同法》第八十二条的规定，用人单位自用工之日起超过一个月不满一年未与劳动者订立书面劳动合同的，应当向劳动者每月支付二倍的工资。这一规定同样适用于劳动合同到期后未续签的情况。
赔偿月份的计算：
- 若原劳动合同到期后，用人单位未及时续签，而劳动者仍继续工作，则从原劳动合同到期后满一个月的次日起，用人单位需向劳动者支付双倍工资。
- 赔偿期限最多计算至用工满一年的前一日。因此，在半年未续签且未满一年的情况下，赔偿月份通常为5个月（假设原合同到期后第一个月为缓冲期，不计入赔偿月份）。
赔偿金额的计算：
- 赔偿金额为这5个月的双倍工资差额，即劳动者应得工资的两倍减去已实际支付的工资（实际上就是额外支付5个月的工资）。
- 计算公式：赔偿金额 = 劳动者月工资 × 5。例如，若劳动者月工资为5000元，则赔偿金额为5000元 × 5 = 25000元。
特殊情况的处理：
- 若用人单位自用工之日起满一年仍未与劳动者订立书面劳动合同，除需支付双倍工资外，还视为已订立无固定期限劳动合同，并应立即补订书面劳动合同。
- 若因劳动者原因（如拒绝签订）导致未续签劳动合同，用人单位则无需支付双倍工资，但应保留相关证据以证明非用人单位过错。
证据收集与仲裁时效：
- 劳动者在主张双倍工资赔偿时，应提供能证明劳动关系存在的证据，如工资支付凭证、工作证、考勤记录等。
- 劳动争议申请仲裁的时效期间为一年，从当事人知道或应当知道其权利被侵害之日起计算。因此，劳动者应及时行使自己的权利，避免错过仲裁时效。
建议措施：
- 用人单位：应在劳动合同到期前及时与劳动者协商并续签劳动合同，以避免不必要的法律纠纷和经济损失。若存在特殊情况无法按时续签，应尽快与劳动者沟通说明原因，并争取劳动者的理解。
- 劳动者：应及时关注自己的劳动合同情况，若发现用人单位未按时续签，可提醒用人单位续签或重新签订。若用人单位拒绝续签或未支付双倍工资，劳动者可依法向劳动争议仲裁委员会申请仲裁以维护自己的合法权益。
举例说明：
假设小张于2024年1月1日入职某公司，双方签订的劳动合同于2024年6月30日到期。合同到期后，公司未与小张续签劳动合同，但小张仍继续在公司工作。那么，从2024年8月1日起至2024年12月31日止（假设以半年为限且未满一年），公司需向小张支付双倍工资作为赔偿。若小张的月工资为6000元，则公司需支付的赔偿金额为6000元 × 5 = 30000元。
综上所述，用人单位在半年内未与劳动者续签劳动合同且劳动者继续工作的情况下，需向劳动者支付双倍工资作为赔偿。具体赔偿金额需根据劳动者的月工资和赔偿月份来计算。如有任何疑问或需要进一步的法律帮助，请随时向我咨询。