核心结论：在此类情况下，赔偿责任的承担需分情况讨论，主要涉及工伤保险赔偿（若存在事实劳动关系）与民事侵权赔偿（运输公司或相关责任方是否需承担责任）两方面，具体如下：

1. 若员工与运输公司存在事实劳动关系，但公司未依法缴纳工伤保险
   根据《工伤保险条例》第六十二条，用人单位未参加工伤保险的，由用人单位按照工伤保险待遇项目和标准支付费用。员工因工死亡的，近亲属可主张以下赔偿：

   • 丧葬补助金：6个月的统筹地区上年度职工月平均工资；
     
   • 供养亲属抚恤金：按职工本人工资的一定比例发给由因工死亡职工生前提供主要生活来源、无劳动能力的亲属（配偶每月40%，其他亲属每人每月30%，孤寡老人或孤儿每人每月在上述标准基础上增加10%）；
     
   • 一次性工亡补助金：上一年度全国城镇居民人均可支配收入的20倍。
     关键点：即使员工全责（如因自身操作失误导致事故），只要符合“工作时间、工作场所、因工作原因”的工伤认定条件，公司仍需承担上述赔偿责任。

2. 若员工与运输公司为劳务关系（如临时雇佣、非全日制用工）
   此时不适用工伤保险条例，但可根据《民法典》第一千一百九十二条主张侵权赔偿：

   • 提供劳务一方因劳务受到损害的：根据双方各自的过错承担相应责任。若员工全责（如故意或重大过失），公司可能无需赔偿；但若公司存在过错（如未提供安全培训、设备故障等），需按过错比例赔偿。
     
   • 赔偿范围：包括医疗费、丧葬费、死亡赔偿金（按受诉法院所在地上一年度城镇居民人均可支配收入标准，按20年计算）、被扶养人生活费等。
     

3. 运输公司是否需承担其他责任

   • 行政责任：若公司未依法缴纳工伤保险，可能面临社保部门责令补缴、滞纳金甚至罚款（《社会保险法》第八十六条）。
     
   • 刑事责任：若事故涉及重大责任事故罪（如公司安全管理严重失职导致死亡），相关责任人可能被追究刑事责任（《刑法》第一百三十四条）。
     

建议行动：

1. 立即收集证据（如劳动合同、工资记录、事故现场照片、医疗记录等），以证明劳动关系或劳务关系及事故原因；
   
2. 向当地社保部门申请工伤认定（若存在劳动关系）；
   
3. 若公司拒绝赔偿，可向劳动仲裁委员会申请仲裁（工伤赔偿）或直接向法院起诉（民事侵权赔偿）；
   
4. 同步咨询专业律师，针对具体案情制定诉讼策略（如是否主张公司存在过错、赔偿金额计算等）。
   

提示：赔偿金额需结合死者年龄、工资水平、被扶养人情况等具体计算，建议携带材料进一步沟通。