结论：能否开具无犯罪证明，主要取决于您多年前打架行为是否构成犯罪以及是否受到了刑事处罚。若未构成犯罪或虽构成犯罪但未受刑事处罚，一般可以开具；若构成犯罪且受到了刑事处罚，则通常不能开具。
分析说明：
无犯罪证明的定义与开具条件：
- 无犯罪证明，通常指的是证明个人在一定时期内没有犯罪记录的官方文件。
- 开具无犯罪证明的条件，一般要求个人在该时期内没有因犯罪行为受到刑事处罚。
打架行为是否构成犯罪：
- 打架行为是否构成犯罪，取决于行为的严重程度、造成的后果以及是否符合相关犯罪构成要件。
- 如果打架行为情节轻微，未造成严重后果，可能仅构成治安违法行为，不构成犯罪。
- 如果打架行为情节严重，如造成他人轻伤、重伤或死亡等严重后果，则可能构成故意伤害罪等犯罪。
刑事处罚对无犯罪证明开具的影响：
- 如果打架行为构成犯罪，并且您因此受到了刑事处罚（如拘役、有期徒刑等），那么您在该时期内将有犯罪记录，通常不能开具无犯罪证明。
- 如果打架行为未构成犯罪，或者虽构成犯罪但未受到刑事处罚（如因情节轻微被免予刑事处罚），那么您在该时期内没有犯罪记录，一般可以开具无犯罪证明。
特殊情况与例外：
- 在某些特殊情况下，即使您有犯罪记录，也可能根据特定政策或规定开具无犯罪证明。例如，某些国家或地区对于特定类型的犯罪或特定时期的犯罪记录可能不予考虑。
- 此外，如果您已经接受了刑事处罚并完成了相应的改造和矫正，且在一定时期内没有再次犯罪，也可能有机会申请开具无犯罪证明或类似文件。但这种情况通常需要具体政策和规定的支持。
建议与行动：
- 如果您不确定自己是否有犯罪记录或能否开具无犯罪证明，建议您先向当地公安机关或相关司法部门咨询，了解自己的犯罪记录情况。
- 如果您确实有犯罪记录且因此不能开具无犯罪证明，但您需要该证明用于特定目的（如出国、就业等），您可以考虑咨询相关机构或部门，了解是否有其他替代方案或特殊政策可供利用。
- 如果您对之前的打架行为或刑事处罚有异议或疑问，您可以考虑咨询专业律师，了解自己的法律权益和可能的救济途径。
后续思考：
- 无犯罪证明的开具是一个涉及个人隐私和法律权益的重要问题，因此建议您在处理相关事宜时保持谨慎和理性。
- 如果您需要进一步的法律帮助或咨询，请随时向我提问，我将根据您的具体情况提供专业的法律意见和建议。