核心结论：公司能否停止发放原本长期发放的工龄奖和全勤奖，需分情况讨论，具体如下：

1. 若工龄奖和全勤奖属于劳动合同约定内容
   根据《劳动合同法》第17条，劳动合同应当明确约定劳动报酬、福利待遇等条款。若劳动合同中明确约定了工龄奖、全勤奖的发放标准、条件及周期，则公司单方面停止发放属于违约行为。员工可依据《劳动合同法》第38条，以“未及时足额支付劳动报酬”为由解除劳动合同，并主张经济补偿金（按工作年限，每满1年支付1个月工资）。
   建议：员工可先与公司协商，要求继续履行合同；协商不成可向劳动监察部门投诉或申请劳动仲裁。

2. 若工龄奖和全勤奖属于公司规章制度内容
   若公司通过规章制度（如《薪酬管理办法》）规定了工龄奖、全勤奖的发放规则，需满足以下条件方为合法：

   • 程序合法：规章制度需经职工代表大会或全体职工讨论，与工会或职工代表平等协商确定（《劳动合同法》第4条）；
     
   • 内容合法：不得违反法律强制性规定（如最低工资标准、加班费支付等）；
     
   • 公示告知：需向员工公示或送达（如通过培训、签字确认等方式）。
     若规章制度合法有效，公司可依据《劳动合同法》第35条，通过与员工协商一致修改或停止发放奖金；但若未履行协商程序，单方面停发可能构成未及时足额支付劳动报酬，员工同样可主张经济补偿。
     建议：公司应保留规章制度制定、公示的证据；员工可要求公司出示相关制度文件，核查其合法性。

3. 若工龄奖和全勤奖属于口头承诺或惯例
   若公司长期发放但未通过合同或制度明确，可能被认定为劳动报酬的组成部分（依据《关于工资总额组成的规定》第4条，奖金属于工资范畴）。此时停发需与员工协商一致，否则可能面临劳动争议。
   建议：员工可收集过往发放记录（如工资条、银行流水、同事证言等），证明奖金的常规性；公司若需停发，建议通过书面协议与员工达成一致。

总结：公司能否停发需结合发放依据（合同、制度或惯例）及程序合法性判断。若涉及违法停发，员工可通过劳动仲裁维护权益；公司若需调整，建议依法履行协商程序，避免法律风险。如有具体案例或合同条款，可进一步向我咨询细节。