结论：全资子公司若没有派遣资质，则不可以从事派遣业务。

法律背景与解释：

1. 派遣资质的必要性：

   • 根据相关法律法规，从事劳务派遣业务的单位必须具备相应的资质。这一要求是为了保障被派遣劳动者的合法权益，确保派遣业务的合法性和规范性。
   • 派遣资质通常包括注册资本、经营场所、管理制度、专业人员等方面的要求，这些要求旨在确保派遣单位具备从事派遣业务的基本能力和条件。

2. 全资子公司与母公司的关系：

   • 全资子公司虽然由母公司全资控股，但在法律上是一个独立的法人实体。这意味着全资子公司需要独立承担法律责任，包括因从事非法派遣业务而可能面临的法律后果。
   • 母公司的派遣资质并不能直接赋予全资子公司从事派遣业务的权利。全资子公司若想从事派遣业务，必须自行申请并获得相应的派遣资质。

3. 非法从事派遣业务的法律后果：

   • 如果全资子公司未经许可非法从事派遣业务，可能会面临行政处罚，包括罚款、责令停止违法行为等。
   • 此外，非法派遣还可能导致被派遣劳动者的权益受损，如工资拖欠、社保未缴等。在这种情况下，全资子公司可能需要承担民事赔偿责任，甚至可能面临刑事责任。

法律建议：

• 合规经营：全资子公司应严格遵守相关法律法规，确保自身具备从事派遣业务的资质和条件。如果确实需要从事派遣业务，应及时向相关部门申请并获得许可。
• 风险防控：在从事派遣业务前，全资子公司应充分了解并评估相关风险，包括法律风险、经营风险等。同时，应建立健全的管理制度和风险防控机制，确保派遣业务的合法性和规范性。
• 咨询专业律师：在涉及派遣业务的问题上，全资子公司可以咨询专业律师以获取更具体的法律建议和指导。律师可以根据公司的实际情况和需求，提供针对性的法律解决方案和风险防控建议。

可能的情况与应对：

• 如果全资子公司已经非法从事派遣业务：应立即停止违法行为，并尽快向相关部门报告并申请许可。同时，应积极与被派遣劳动者协商解决可能存在的权益受损问题，以避免法律纠纷和声誉损失。
• 如果全资子公司计划从事派遣业务但尚未获得资质：应尽快了解并满足相关资质要求，然后向相关部门申请许可。在申请过程中，可以咨询专业律师以获取更具体的指导和帮助。

总之，全资子公司若没有派遣资质，则不可以从事派遣业务。为了确保合法经营和风险防控，全资子公司应严格遵守相关法律法规，并在必要时咨询专业律师以获取法律建议和指导。