法院是否会支持原告对被告当庭提交证据不予质证，需分情况讨论：
若被告当庭提交的证据属于逾期举证且无正当理由：
- 根据《最高人民法院关于民事诉讼证据的若干规定》第五十五条，当事人应当在举证期限届满前向人民法院提交证据材料。若被告无正当理由逾期举证，且原告明确表示不予质证，法院通常不会组织质证，该证据可能不会被采纳作为认定案件事实的依据。但需注意，若该证据与案件基本事实有关，法院仍可能要求原告质证，并依据《民事诉讼法》的相关规定，对逾期举证的当事人予以训诫、罚款。
若被告当庭提交的证据虽逾期但具有正当理由：
- 若被告因客观原因（如证据在举证期限届满后才取得，或虽取得但因不可抗力等无法在举证期限内提交）而逾期举证，且该证据对案件事实的认定具有关键作用，法院通常会组织质证。此时，原告若拒绝质证，可能被视为放弃质证权利，法院可能依据该证据作出裁判。但原告仍可提出反驳意见，并申请法院对证据的真实性、合法性、关联性进行审查。
若被告当庭提交的证据未逾期：
- 若被告在举证期限内或法院指定的期限内提交证据，原告无正当理由拒绝质证，法院通常会组织质证。质证是当事人的法定权利，也是法院查明案件事实的重要环节。原告拒绝质证可能被视为放弃质证权利，但法院仍会依法对证据进行审查，并可能依据该证据作出裁判。
法律建议：
- 对于原告：若被告当庭提交证据，应首先审查该证据是否逾期提交及是否有正当理由。若认为证据逾期且无正当理由，可明确表示不予质证，并要求法院不予采纳。但需注意，若证据与案件基本事实有关，法院可能仍会组织质证，此时应积极准备反驳意见。
- 对于被告：应尽量在举证期限内提交证据，避免逾期举证。若因客观原因逾期举证，应及时向法院说明情况，并提供相关证明材料，以争取法院组织质证的机会。
可能后果：
- 若原告无正当理由拒绝质证，且法院最终采纳了该证据，可能导致原告在诉讼中处于不利地位，甚至败诉。
- 若被告逾期举证且无正当理由，法院未采纳该证据，可能导致被告无法证明其主张的事实，从而承担不利后果。
总结：法院是否支持原告对被告当庭提交证据不予质证，取决于证据是否逾期提交、是否有正当理由以及证据与案件事实的关联性。在诉讼中，当事人应积极行使质证权利，配合法院查明案件事实，以维护自身合法权益。如有具体法律问题，可直接向我咨询。