结论前置：根据《中华人民共和国劳动合同法》及相关法律法规，公司在特定情形下辞退员工无需支付经济补偿金。这些情形主要包括员工过错性解除以及非过失性辞退但无需补偿的特殊情形。以下是对这些情形的详细归纳和解释：

一、员工过错性解除

1. 试用期内不符合录用条件

   • 法律依据：《劳动合同法》第三十九条第一项规定，在试用期间被证明不符合录用条件的，用人单位可以解除劳动合同。
   • 关键点：公司需在招聘时明确录用条件，并在试用期内对员工进行客观、公正的考核，保留相关证据。若员工经考核不符合录用条件，公司可以解除劳动合同且无需支付经济补偿金。
   • 举例：公司招聘程序员要求熟练掌握特定编程语言，但员工在试用期内无法运用这些技能完成工作任务，经评估不符合录用条件，公司可辞退且无需支付经济补偿金。

2. 严重违反公司规章制度

   • 法律依据：《劳动合同法》第三十九条第二项规定，严重违反用人单位的规章制度的，用人单位可以解除劳动合同。
   • 关键点：公司的规章制度需经民主程序制定且已公示，违纪事实需有书面证据（如警告信、监控录像）。公司需证明员工的行为严重违反了规章制度，且该行为对公司的正常运营造成了严重影响。
   • 举例：员工多次在工作车间吸烟，尽管多次警告仍不改正，严重违反安全生产规定，公司可辞退且无需支付经济补偿金。

3. 严重失职或营私舞弊给公司造成重大损害

   • 法律依据：《劳动合同法》第三十九条第三项规定，严重失职、营私舞弊，给用人单位造成重大损害的，用人单位可以解除劳动合同。
   • 关键点：公司需在规章制度中明确“重大损害”的标准，如经济损失的具体金额。同时，公司需提供证据证明员工的严重失职、营私舞弊行为，以及该行为与重大损害之间的因果关系。
   • 举例：财务人员因疏忽大意导致公司损失巨额资金，对公司运营造成重大影响，公司可辞退且无需支付经济补偿金。

4. 同时与其他用人单位建立劳动关系且对完成本单位工作任务造成严重影响或拒不改正

   • 法律依据：《劳动合同法》第三十九条第四项规定，劳动者同时与其他用人单位建立劳动关系，对完成本单位的工作任务造成严重影响，或者经用人单位提出，拒不改正的，用人单位可以解除劳动合同。
   • 关键点：公司需证明员工的兼职行为对本单位工作任务造成了严重影响，或在提出反对意见后员工仍未改正。
   • 举例：销售人员同时为其他公司兼职销售，导致本公司销售业绩下滑，且拒绝改正，公司可辞退且无需支付经济补偿金。

5. 以欺诈或胁迫手段使公司违背真实意思订立或变更劳动合同

   • 法律依据：《劳动合同法》第三十九条第五项规定，因以欺诈、胁迫的手段或者乘人之危，使用人单位在违背真实意思的情况下订立劳动合同的，用人单位可以解除劳动合同。
   • 关键点：公司需提供证据证明员工存在欺诈、胁迫或乘人之危的行为，如提供虚假学历、隐瞒重要工作经历等，以及该行为与劳动合同订立或变更之间的因果关系。
   • 举例：员工伪造高级工程师证书与公司签订劳动合同，公司发现后可辞退且无需支付经济补偿金。

6. 被依法追究刑事责任

   • 法律依据：《劳动合同法》第三十九条第六项规定，被依法追究刑事责任的，用人单位可以解除劳动合同。
   • 关键点：公司需持有人民法院的生效判决或裁定等法律文书作为证据。
   • 举例：员工因涉嫌盗窃罪被法院判处有期徒刑，公司可解除劳动合同且无需支付经济补偿金。

二、非过失性辞退但无需补偿的特殊情形

1. 协商一致解除合同

   • 法律依据：当双方协商一致解除劳动合同，且明确约定不支付经济补偿时，可免除补偿义务。但需注意协议条款不得违反法律强制性规定。
   • 关键点：双方需就解除劳动合同达成一致意见，并明确约定不支付经济补偿。

2. 劳动者主动辞职

   • 法律依据：劳动者提前三十日书面通知（试用期三日）后离职，或未履行通知义务擅自离岗，均不构成用人单位支付补偿的法定义务。
   • 关键点：劳动者需主动提出辞职，并按照规定履行通知义务。

3. 合同终止特定情形

   • 法律依据：包括固定期限合同期满且不续签（需符合《劳动合同法》第十四条无固定期限合同签订条件）、劳动者开始享受基本养老保险待遇、劳动者死亡或被宣告失踪/死亡等情形。
   • 关键点：这些情形下，劳动合同自然终止，公司无需支付经济补偿金。

总结与建议：公司在辞退员工时，必须确保辞退决定的合法性和合理性，严格遵守相关法律法规和程序规定。同时，公司也应注重保护员工的合法权益，避免不必要的法律纠纷。若公司在辞退员工过程中遇到法律问题或需要进一步的法律建议，可以直接向我咨询。