结论：保姆不小心把客户家的狗打死了，这涉及到动物侵权及可能的财产损害赔偿问题。具体处理方式需根据实际情况，包括保姆的过错程度、狗的价值以及双方之间的雇佣关系等因素来综合判断。以下是从不同角度对此问题的详细分析：
一、法律责任分析
过错责任原则：
- 根据一般侵权责任原则，如果保姆在照顾狗的过程中存在过错（如疏忽大意、操作不当等），导致狗死亡，那么保姆应当承担相应的赔偿责任。
- 过错的认定需要结合具体情境，如保姆是否违反了常规的照顾流程、是否尽到了合理的注意义务等。
无过错责任原则（特定情况）：
- 在某些特定情况下，如保姆受雇于客户从事专门照顾狗的工作，且客户能够证明保姆存在故意或重大过失，那么即使保姆主张无过错，也可能需要承担一定的赔偿责任。不过，这种情况下的责任划分可能更为复杂，需要具体分析。
雇佣关系的影响：
- 如果保姆是客户正式雇佣的员工，双方之间存在雇佣合同关系，那么客户可能需要根据合同条款以及相关法律法规来追究保姆的责任。
- 在雇佣关系中，雇主和雇员之间的权利义务关系通常由合同明确约定，包括工作范围、责任承担等。
二、赔偿范围及计算
狗的价值：
- 赔偿的首要考虑是狗的价值。这通常包括狗的购买价格、饲养成本（如食物、医疗等费用）以及可能的情感价值（如果客户能够证明狗对其具有特殊情感意义）。
- 在实际操作中，狗的价值可能难以精确计算，特别是情感价值部分。因此，双方可能需要协商或寻求第三方评估来确定一个合理的赔偿金额。
其他损失：
- 除了狗的价值外，如果客户因狗的死亡而遭受了其他直接损失（如因狗死亡而导致的业务中断、额外支出等），这些损失也可能被纳入赔偿范围。
计算公式（示例）：
- 假设狗的购买价格为X元，饲养成本为Y元，情感价值评估为Z元（此部分通常难以精确计算，可协商或忽略），则总赔偿金额可能为：X + Y + Z（如果考虑情感价值）。
- 在实际操作中，由于情感价值难以量化，赔偿金额可能主要基于狗的购买价格和饲养成本来计算。
三、处理建议
协商解决：
- 在发生此类纠纷时，首先建议双方尝试通过协商来解决。双方可以就赔偿金额、赔偿方式等事项进行友好讨论，以达成一个双方都能接受的解决方案。
寻求第三方调解：
- 如果协商无果，双方可以考虑寻求第三方调解机构的帮助。调解机构可以提供中立的意见和建议，帮助双方找到一个合理的解决方案。
法律途径：
- 如果调解也无果，或者双方对调解结果不满意，那么客户可以考虑通过法律途径来维护自己的权益。这包括向法院提起诉讼或申请仲裁等。
最后，需要强调的是，每个具体案件的情况都是独特的，因此上述分析仅供参考。在实际操作中，建议双方根据具体情况咨询专业律师，以便获得更准确、更全面的法律建议。如果你有任何疑问或需要进一步的法律帮助，请直接向我咨询。