向未成年人销售烟草制品的处罚机关主要是市场监督管理部门，情节严重构成犯罪的，则由公安机关进行刑事立案侦查。具体分析如下：

1. 行政处罚机关：根据《中华人民共和国未成年人保护法》第五十九条和第一百二十三条的规定，禁止向未成年人销售烟、酒、彩票或者兑付彩票奖金。如果商家违反这一规定，由文化和旅游、市场监督管理、烟草专卖、公安等部门按照职责分工责令限期改正，给予警告，没收违法所得，可以并处五万元以下罚款；拒不改正或者情节严重的，责令停业整顿或者吊销营业执照、吊销相关许可证，可以并处五万元以上五十万元以下罚款。在实际操作中，市场监督管理部门通常是主要的行政处罚机关，负责查处此类违法行为。

2. 刑事处罚机关：如果向未成年人销售烟草制品的行为情节严重，构成犯罪的，如非法经营罪等，那么将由公安机关进行刑事立案侦查，并依法追究刑事责任。不过，单纯的向未成年人销售烟草制品行为，一般不构成刑事犯罪，除非伴随其他严重情节，如销售假冒伪劣烟草制品、数量巨大等。

建议：作为商家，应当严格遵守相关法律法规，不得向未成年人销售烟草制品。同时，社会各界也应当加强对未成年人的保护，共同营造一个健康、安全的成长环境。如果您在经营过程中遇到相关法律问题，或者需要进一步的法律指导，请随时向我咨询。