结论：不可以随意砍伐公路边上的核桃树，即使该树影响到了车辆通行。若未经允许砍伐，可能构成违法行为，需承担相应的法律责任。
分析：
树木所有权与保护：
- 核桃树作为植物，其所有权通常归属于种植者或土地使用者。若该树是村民个人种植并享有所有权，那么该村民对树木有合法的处置权，但这并不意味着可以随意砍伐，尤其是在公共区域或影响公共利益的情况下。
- 根据《中华人民共和国森林法》等相关法律法规，即使是个人所有的树木，在砍伐前也需要办理相应的砍伐许可手续，特别是当树木位于公路边等可能影响公共安全的区域时。
公共利益与道路通行：
- 公路作为公共交通设施，其畅通无阻是保障公共利益的重要方面。若核桃树确实影响到了车辆的正常通行，那么这构成了一个需要解决的问题。
- 然而，解决这一问题的方式并非直接砍伐树木，而是应该通过与树木所有者协商、向相关部门报告并寻求合法解决方案，如修剪树枝、移植树木等。
违法砍伐的法律后果：
- 若未经允许擅自砍伐公路边上的核桃树，可能构成违法行为，如违反《中华人民共和国森林法》关于砍伐许可的规定。
- 违法砍伐者可能面临行政处罚，包括罚款、责令补种树木等；若情节严重，还可能构成犯罪，如滥伐林木罪，需承担刑事责任。
建议：
- 与树木所有者协商：首先尝试与核桃树的所有者进行友好协商，说明树木对车辆通行的影响，并寻求共同的解决方案。
- 向相关部门报告：若协商无果，可以向当地的林业部门、交通管理部门或村委会报告此事，请求他们介入处理。
- 遵守法律法规：在处理此类问题时，务必遵守相关的法律法规，不要擅自采取行动，以免引发不必要的法律纠纷。
后续行动：
- 若您已经砍伐了树木，且未经允许，建议您立即停止此类行为，并主动向相关部门说明情况，接受可能的处罚，并积极采取补救措施。
- 若您希望进一步了解相关法律法规或寻求法律帮助，可以直接向我咨询，我会根据您的具体情况提供专业的法律意见。