结论：公司不想与员工续签劳动合同，需根据具体情况依法处理，主要涉及经济补偿金的支付、续签通知的义务以及特殊情况下的处理。以下从不同角度详细分析：
一、经济补偿金的支付
一般情况：
- 根据《中华人民共和国劳动合同法》第四十六条第五项规定，除用人单位维持或者提高劳动合同约定条件续订劳动合同，劳动者不同意续订的情形外，劳动合同期满终止固定期限劳动合同的，用人单位应当向劳动者支付经济补偿。
- 经济补偿的计算公式：\(经济补偿金 = 工作年限 \times 月工资\)（工作年限满一年支付一个月工资，六个月以上不满一年的按一年计算，不满六个月的支付半个月工资；月工资高于用人单位所在直辖市、设区的市级人民政府公布的本地区上年度职工月平均工资三倍的，向其支付经济补偿的标准按职工月平均工资三倍的数额支付，向其支付经济补偿的年限最高不超过十二年）。
特殊情况：
- 如果公司提出续签劳动合同，但降低了原劳动合同约定的条件（如降低工资、变更工作地点等），员工拒绝续签的，公司仍需支付经济补偿金。
- 如果公司未提前通知员工劳动合同到期，或者未依法与员工协商续签事宜，导致劳动合同到期终止的，公司可能面临支付双倍经济补偿金的风险（具体根据地方性法规或司法实践确定）。
二、续签通知的义务
提前通知：
- 虽然《劳动合同法》未明确规定公司必须提前多久通知员工劳动合同到期，但为了避免纠纷，建议公司至少在劳动合同到期前一个月通知员工是否续签。
- 某些地方性法规或公司规章制度可能规定了更具体的通知期限，公司应遵守相关规定。
协商续签：
- 公司应与员工就续签劳动合同的事宜进行协商，包括合同期限、工作内容、工作地点、劳动报酬等条款。
- 如果双方就续签事宜达成一致，应签订新的劳动合同；如果无法达成一致，则劳动合同到期终止。
三、特殊情况下的处理
员工怀孕或处于“三期”：
- 如果员工在劳动合同到期时怀孕或处于孕期、产期、哺乳期（简称“三期”），公司不得以劳动合同到期为由终止劳动合同，而应续延至相应的情形消失时终止。
- 在此期间，公司应依法支付员工工资、缴纳社会保险等。
员工患病或非因工负伤：
- 如果员工在劳动合同到期时患病或非因工负伤，在规定的医疗期内，公司不得终止劳动合同，而应续延至医疗期满。
- 医疗期满后，如果员工不能从事原工作也不能从事由公司另行安排的工作的，公司可以提前三十日以书面形式通知员工或者额外支付员工一个月工资后终止劳动合同，并支付经济补偿金。
员工在本单位患职业病或因工负伤：
- 如果员工在本单位患职业病或者因工负伤并被确认丧失或者部分丧失劳动能力，公司应按照《工伤保险条例》的规定处理，不得随意终止劳动合同。
四、法律建议
公司方面：
- 在劳动合同到期前，及时与员工沟通续签事宜，明确续签条件。
- 如果决定不续签，应依法支付经济补偿金，并办理离职手续。
- 保留好相关证据，如续签通知、经济补偿金支付凭证等，以备不时之需。
员工方面：
- 如果收到公司不续签的通知，应了解自己的权益，包括经济补偿金的支付、离职手续的办理等。
- 如果认为公司的行为违法或侵犯了自己的权益，可以与公司协商解决；协商不成的，可以向劳动争议调解委员会申请调解或向劳动争议仲裁委员会申请仲裁。
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