关于根本违约持续存在的解除权起算时间，一般而言，解除权的起算时间是从解除权人知道或应当知道解除事由之日起计算。以下是对这一问题的详细分析：
一、根本违约与解除权的基本概念
根本违约是指合同一方当事人违反合同，致使另一方当事人不能实现合同目的的情形。在根本违约的情况下，守约方有权解除合同，并要求违约方承担违约责任。解除权是守约方在对方根本违约时享有的一种权利，其行使将导致合同的终止。
二、解除权起算时间的法律规定
根据《中华人民共和国民法典》的相关规定，解除权的起算时间通常是从解除权人知道或应当知道解除事由之日起计算。这意味着，一旦守约方发现对方存在根本违约行为，并且这种违约行为已经导致或可能导致合同目的无法实现，守约方就有权在知道或应当知道这一事实之日起行使解除权。
三、根本违约持续存在对解除权起算时间的影响
持续违约与解除权行使：如果根本违约行为持续存在，即违约方一直未履行其合同义务或履行义务不符合约定，导致合同目的无法实现的状态一直持续，那么解除权人可以在知道或应当知道这一持续违约状态之日起的任何时间行使解除权。但需要注意的是，解除权的行使也受到一定期限的限制，即解除权人应在合理期限内行使解除权，否则可能丧失解除权。
解除权行使的合理期限：虽然法律没有明确规定解除权行使的具体期限，但根据诚实信用原则和交易习惯，解除权人应在知道或应当知道解除事由之日起的合理期限内行使解除权。这个合理期限应根据具体情况进行判断，包括违约行为的性质、严重程度、对合同目的实现的影响程度以及解除权人采取补救措施的可能性等因素。
四、实际操作中的建议
及时取证：在发现对方存在根本违约行为时，解除权人应及时收集、保存相关证据，以证明对方违约的事实和违约行为的严重性。
发出解除通知：在决定行使解除权时，解除权人应向违约方发出书面解除通知，明确说明解除合同的理由和依据，并要求违约方承担违约责任。
寻求法律救济：如果违约方拒绝承担违约责任或双方无法就违约责任达成一致意见，解除权人可以向法院提起诉讼或申请仲裁，以维护自己的合法权益。
总结来说，根本违约持续存在的解除权起算时间是从解除权人知道或应当知道解除事由之日起计算。在实际操作中，解除权人应及时取证、发出解除通知，并在必要时寻求法律救济。如果你有进一步的法律问题或需要更具体的法律建议，可以直接向我咨询。