外地公安在法院审理刑事案件期间提审被告人，需严格遵循法定程序，具体处理方式如下：

1. 提审的合法性审查
   外地公安机关若需在法院审理阶段提审被告人，必须持有办案地公安机关出具的合法手续（如《提讯提解证》），并加盖公章。法院需核实手续真实性，若手续不全或存在瑕疵，可拒绝提审请求，确保程序合法性。

2. 与法院的协调机制

   • 提前沟通：外地公安应提前与法院承办法官或书记员联系，说明提审目的、时间及是否需要法院协助（如安排押解、提供场所等）。
     
   • 时间安排：提审通常安排在法院工作时间内，避免与庭审、调解等程序冲突。若需延长提审时间，需经法院许可。
     
   • 场所选择：提审可在法院指定的羁押场所或专用讯问室进行，确保安全且符合法律规定。

3. 被告人的权利保障

   • 律师在场权：若被告人已委托辩护律师，提审时律师有权在场（除非涉及国家秘密、个人隐私等特殊情形）。法院可提醒外地公安尊重这一权利。
     
   • 休息与饮食：提审不得连续超过法定时长（如《刑事诉讼法》规定讯问不得超过12小时），且需保障被告人基本生活需求。
     
   • 拒绝自证其罪：被告人有权保持沉默或拒绝回答与案件无关的问题，外地公安不得以威胁、引诱等方式强迫供述。

4. 特殊情况的处理

   • 被告人拒不配合：若被告人拒绝提审，法院可记录在案，并告知外地公安通过合法途径解决（如申请强制到庭）。
     
   • 提审内容与庭审冲突：若提审中被告人提出新事实或证据，法院需在庭审中核实，确保程序公正。
     
   • 疫情等突发情况：需遵守当地防疫政策，可能通过远程视频提审，但需保障技术条件符合法律要求（如清晰录音录像）。

5. 监督与救济途径

   • 法院监督：法院有权对提审过程进行监督，若发现违法讯问行为（如刑讯逼供），可要求排除非法证据。
     
   • 被告人申诉：被告人若认为提审中权利受损，可向法院或检察机关提出申诉，相关机关需依法处理。

总结：外地公安在法院审理阶段提审被告人，需以合法手续为前提，与法院充分协调，并严格保障被告人权利。若遇程序或实体问题，可随时向我咨询具体应对方案。