针对老员工忘记续签劳动合同的情况，以下是一些详细的补救办法和相关的法律解释：

首先，需要明确的是，根据《中华人民共和国劳动合同法》的相关规定，用人单位自用工之日起即与劳动者建立劳动关系，且建立劳动关系应当订立书面劳动合同。如果劳动合同到期未续签，但劳动者仍在原单位继续工作，那么劳动关系依然存在，但此时用人单位和劳动者都面临一定的法律风险。

补救办法：

1. 及时补签劳动合同：

   • 一旦发现劳动合同未续签，用人单位应立即与劳动者协商补签劳动合同。补签时，应明确劳动合同的起始日期（可以追溯至原合同到期日的次日）和终止日期，以及双方的权利和义务。
   • 劳动者也应积极配合用人单位完成补签手续，以保障自己的合法权益。

2. 支付双倍工资的风险与应对：

   • 根据《劳动合同法实施条例》的相关规定，如果用人单位自用工之日起超过一个月不满一年未与劳动者订立书面劳动合同，应当向劳动者每月支付两倍的工资。
   • 因此，用人单位在补签劳动合同的同时，应评估是否需要支付双倍工资，并与劳动者进行协商。如果确实需要支付，应尽快安排支付，以避免法律纠纷。

3. 视为无固定期限劳动合同的情况：

   • 如果用人单位自用工之日起满一年未与劳动者订立书面劳动合同，根据法律规定，将视为自用工之日起满一年的当日已经与劳动者订立无固定期限劳动合同。
   • 在这种情况下，用人单位应立即与劳动者补订书面无固定期限劳动合同，并确保合同内容符合法律法规的要求。

4. 劳动者权益保护：

   • 劳动者在发现劳动合同未续签后，有权要求用人单位及时补签，并保障自己的合法权益不受侵害。
   • 如果用人单位拒绝补签或存在其他违法行为，劳动者可以向有关部门依法处理，或者依法申请仲裁、提起诉讼。

建议：

• 用人单位应建立健全的劳动合同管理制度，定期检查劳动合同的续签情况，避免类似问题的发生。
• 劳动者也应关注自己的劳动合同状态，及时与用人单位沟通续签事宜，以保障自己的合法权益。

综上所述，老员工忘记续签劳动合同后，用人单位和劳动者都应积极采取补救措施，及时补签劳动合同，并评估是否需要支付双倍工资或视为无固定期限劳动合同的情况。同时，双方都应加强劳动合同管理意识，避免类似问题的再次发生。