结论：根据您描述的情况，父母房产原登记在父亲名下，父亲去世后，母亲作为被继承人通过调解书获得了房产的相关权益，现在母亲也去世了，您想要凭借调解书办理房产过户。一般情况下，需要先办理继承手续，明确房产的继承人，再由继承人办理过户手续。以下是详细分析：
一、调解书的性质与作用
调解书是人民法院在审理民事案件过程中，根据自愿和合法的原则，在事实清楚、分清是非的基础上，通过调解方式促使双方当事人达成协议而制作的法律文书。调解书具有法律效力，等同于法院的判决书。在此情况下，调解书确认了母亲对房产的相关权益，是后续办理继承和过户的重要依据。
二、继承手续的办理
确定继承人：
- 根据《中华人民共和国民法典》继承编的规定，继承开始后，按照法定继承办理；有遗嘱的，按照遗嘱继承或者遗赠办理；有遗赠扶养协议的，按照协议办理。
- 在您的情况下，如果父亲和母亲没有留下遗嘱或遗赠扶养协议，那么房产将按照法定继承办理。法定继承人包括配偶、子女、父母等。
- 您需要与其他法定继承人（如兄弟姐妹、祖父母、外祖父母等，如果他们在世的话）协商确定房产的继承人。如果协商不成，可以通过诉讼方式解决。
办理继承权公证或诉讼继承：
- 为了确认继承人的身份和继承份额，通常需要办理继承权公证。公证机构会根据相关法律法规和调解书的内容，出具继承权公证书。
- 如果其他法定继承人对继承有争议，或者无法协商一致，您可以通过诉讼方式解决继承问题。法院将根据事实和法律，作出判决确认继承人。
三、过户手续的办理
准备过户材料：
- 在确认继承人后，您需要准备过户所需的材料，包括但不限于：调解书、继承权公证书或法院判决书、房产证、继承人身份证明等。
前往不动产登记中心办理过户：
- 携带上述材料，前往房产所在地的不动产登记中心办理过户手续。
- 不动产登记中心将审核您的材料，并办理房产过户登记，将房产过户至继承人名下。
四、特殊情况的处理
- 如果调解书中已经明确房产由您继承：那么您可能不需要再与其他法定继承人协商，可以直接凭借调解书和房产证等材料办理过户手续。但这种情况较为特殊，需要具体查看调解书的内容。
- 如果房产存在其他共有人：如父母在世时与其他人共有房产，那么在办理继承和过户时，还需要考虑其他共有人的权益。
五、建议与注意事项
- 咨询专业机构：在办理继承和过户手续前，建议您咨询当地的不动产登记中心或公证机构，了解具体的办理流程和所需材料。
- 保留好相关证据：包括调解书、房产证、身份证明等，以备不时之需。
- 协商解决争议：如果与其他法定继承人存在争议，尽量通过协商方式解决，以减少诉讼成本和时间。
最后，房产过户是一个涉及法律程序和手续的过程，需要谨慎对待。如果您在办理过程中遇到任何问题或需要进一步的法律帮助，请随时向我咨询。