家人自杀死亡后，其银行卡里的钱可以通过法定继承程序由继承人继承。以下是详细说明：

1. 确定继承人范围：

   • 根据《中华人民共和国民法典》的相关规定，遗产继承首先按照法定继承办理。法定继承的第一顺序继承人包括配偶、子女、父母。如果第一顺序继承人不存在或放弃继承，则由第二顺序继承人（兄弟姐妹、祖父母、外祖父母）继承。
   • 在确定继承人时，需要确认各继承人的身份及与被继承人的关系，这通常通过户口本、出生证明、结婚证等文件来证明。

2. 办理继承手续：

   • 获取死亡证明：首先，需要取得家人的死亡证明，这是办理继承手续的基础文件。
   • 查询银行存款：继承人应持死亡证明、亲属关系证明（如户口本、出生证明等）以及本人身份证件，到银行查询被继承人的银行存款情况。
   • 办理继承权公证：为了确保继承的合法性和有效性，继承人通常需要到公证处办理继承权公证。公证处会核实继承人的身份、与被继承人的关系以及继承意愿等，并出具继承权公证书。
   • 提取存款：继承人凭继承权公证书、死亡证明、本人身份证件等文件，到银行办理存款提取手续。

3. 特殊情况处理：

   • 如果继承人之间存在争议：如对继承份额、继承顺序等存在分歧，可以通过协商、调解或诉讼等方式解决。在诉讼过程中，法院会依法判决遗产的分配方式。
   • 如果被继承人留有遗嘱：且遗嘱合法有效，那么遗产将按照遗嘱的指定进行分配。此时，继承人需要提供遗嘱原件及相关的公证文件等，以证明其继承权。

4. 注意事项：

   • 及时办理：为了避免存款长期无人管理而可能产生的风险（如银行账户被注销、存款被冻结等），继承人应尽快办理继承手续。
   • 保留证据：在办理继承手续过程中，继承人应妥善保管所有相关文件和证据，以备不时之需。
   • 咨询专业人士：如果继承过程复杂或存在争议，建议咨询专业律师或公证员，以确保继承的合法性和有效性。

在处理这类事务时，请保持冷静和理性，按照法定程序逐步进行。如果有任何疑问或需要进一步的法律帮助，请随时向我咨询。