结论：建设信用卡逾期几千块钱，即使每个月还款1000，仍存在被起诉的可能性，但具体是否会被起诉需结合多种因素综合判断。以下从不同角度为你详细分析：
一、银行起诉的考量因素
逾期金额与时间：
- 虽然你每个月还款1000，但如果逾期金额较大（如几千元虽不算极高，但持续逾期且未全额清偿），且逾期时间较长，银行可能会认为你有恶意拖欠的嫌疑，从而选择通过法律途径追讨欠款。
- 逾期时间越长，银行追讨的成本和难度可能增加，因此更倾向于采取法律手段。
还款意愿与能力：
- 银行在决定是否起诉时，会评估你的还款意愿和能力。如果你能持续还款，即使金额不大，也可能表明你有还款意愿，银行可能会给予一定的宽限期。
- 但如果你经常逾期或还款金额不稳定，银行可能会认为你缺乏还款能力或意愿，从而选择起诉。
银行政策与成本：
- 不同银行对于信用卡逾期的处理政策可能有所不同。有些银行可能更倾向于通过协商、催收等方式解决问题，而有些银行则可能更倾向于直接起诉。
- 起诉需要耗费银行一定的时间和成本，因此银行在决定是否起诉时也会权衡利弊。
二、法律后果与应对建议
法律后果：
- 如果银行选择起诉，且法院判决你需偿还欠款及利息、滞纳金等费用，你将面临法律上的强制执行，如冻结银行账户、查封财产等。
- 逾期还款还可能影响你的个人信用记录，对未来的贷款、信用卡申请等产生不利影响。
应对建议：
- 积极与银行沟通：如果你确实面临还款困难，建议主动与银行联系，说明情况并寻求协商解决方案，如延期还款、分期还款等。
- 保持还款记录：即使金额不大，也尽量保持每月还款的记录，以表明你的还款意愿和态度。
- 关注法律动态：及时了解相关法律法规和银行政策的变化，以便更好地应对可能的法律风险。
三、特殊情况说明
- 如果逾期金额较小且时间较短：银行可能更倾向于通过催收等方式解决问题，而不是直接起诉。但这并不意味着你可以忽视逾期问题，因为逾期记录仍可能影响你的个人信用。
- 如果逾期金额较大且时间较长：银行起诉的可能性会增加。此时，你更应积极与银行沟通并寻求解决方案，以避免更严重的法律后果。
最后，信用卡逾期是一个需要重视的问题，无论逾期金额大小和时间长短，都应积极面对并寻求解决方案。如果你有任何疑问或需要进一步的法律帮助，请直接向我咨询。