结论：在检察院做出不起诉决定并建议行政拘留后，被建议人可以尝试申请不执行行政拘留，但能否成功需视具体情况而定。以下从多个角度进行分析：

一、法律背景与依据

1. 检察院不起诉决定的性质：

   • 检察院不起诉决定意味着在刑事诉讼程序中，认为犯罪嫌疑人的行为不构成犯罪或依法不应追究刑事责任，因此终止刑事诉讼。
   • 但不起诉决定并不等同于无罪认定在行政法上的效力，它不影响行政机关依法对违法行为进行行政处罚。

2. 行政拘留的适用条件：

   • 行政拘留是行政机关对违反行政管理秩序的行为人采取的一种限制人身自由的行政处罚。
   • 其适用需严格遵循《行政处罚法》及相关行政法规的规定，确保事实清楚、证据确凿、程序合法。

3. 检察院建议行政拘留的效力：

   • 检察院在不起诉决定中建议行政拘留，是对行政机关的一种建议或意见，并非具有强制力的法律文书。
   • 行政机关在收到建议后，应依法独立进行审查，并根据审查结果决定是否执行行政拘留。

二、申请不执行行政拘留的途径与理由

1. 申请行政复议：

   • 被建议人可以向作出行政拘留决定的行政机关的上一级机关申请行政复议，请求撤销或变更行政拘留决定。
   • 理由可以包括：事实不清、证据不足、程序违法、适用法律错误等。

2. 提起行政诉讼：

   • 若行政复议未能解决问题，被建议人还可以向人民法院提起行政诉讼，请求法院判决撤销或变更行政拘留决定。
   • 在诉讼过程中，被建议人需要提供充分的证据证明行政拘留决定的不合法性。

3. 特殊情况下的申请：

   • 如果被建议人存在特殊情况，如患有严重疾病、怀孕或正在哺乳自己婴儿的妇女等，可以依据相关法律规定申请暂缓执行或不予执行行政拘留。

三、实际操作中的注意事项

1. 及时申请：

   • 被建议人应在收到行政拘留决定书后尽快申请行政复议或提起行政诉讼，以免错过申请期限。

2. 准备充分证据：

   • 在申请过程中，被建议人需要准备充分的证据来支持自己的主张，如医疗证明、证人证言等。

3. 寻求专业帮助：

   • 由于行政拘留申请不执行的程序涉及复杂的法律问题，被建议人可以寻求专业律师的帮助，以提高申请的成功率。

四、可能面临的法律后果

1. 如果申请成功：

   • 行政机关将撤销或变更行政拘留决定，被建议人将免受行政拘留的处罚。

2. 如果申请失败：

   • 行政机关将维持原行政拘留决定，被建议人需接受行政拘留的处罚。
   • 在此情况下，被建议人仍可以寻求其他法律途径进行救济，如向上级行政机关申诉或向人民法院提起行政赔偿诉讼等。

建议：如果您或您身边的人遇到了检察院不起诉后建议行政拘留的情况，并希望申请不执行行政拘留，可以直接向我咨询。我会根据您的具体情况，为您提供专业的法律意见和帮助。