结论：在此种情况下，您通常可以追偿交强险限额内的损失，但具体能否追偿成功以及追偿的途径和效果，会受到多种因素的影响。以下从不同角度进行分析：

1. 从法律责任角度

   • 根据《机动车交通事故责任强制保险条例》的规定，在中华人民共和国境内道路上行驶的机动车的所有人或者管理人，应当依照规定投保交强险。公司作为车辆的所有人或管理人，未依法投保交强险，违反了法定义务。
   • 当司机因重大过失发生交通事故造成损害时，如果公司未投保交强险，那么在交强险责任限额范围内，原本应由保险公司承担的赔偿责任，就会转由公司自行承担。这是因为交强险具有强制性，其目的在于保障交通事故受害者能够及时获得基本赔偿。公司未投保，就破坏了这种保障机制，所以需自行填补这一空白。
   • 从追偿的角度看，如果您是交通事故的受害者，在公司未投保交强险的情况下，您有权要求公司在交强险责任限额范围内（如死亡伤残赔偿限额18万元、医疗费用赔偿限额1.8万元、财产损失赔偿限额0.2万元）进行赔偿。这是基于公司违反法定义务而应承担的法律后果。

2. 从追偿途径角度

   • 协商解决：您可以首先尝试与公司进行协商，明确指出公司未投保交强险的违法性以及应承担的赔偿责任，要求公司在交强险限额内进行赔偿。这种方式相对简便、快捷，如果公司能够认识到自身的错误并积极配合，可以较快地解决问题。
   • 诉讼解决：如果协商无果，您可以向法院提起诉讼，将公司作为被告，要求其在交强险责任限额范围内承担赔偿责任。在诉讼过程中，您需要提供相关证据，如交通事故认定书、医疗费用单据、财产损失证明等，以证明您的损失以及公司未投保交强险的事实。法院会根据法律规定和证据情况，判决公司承担相应的赔偿责任。

3. 从特殊情况角度

   • 司机与公司的关系：如果司机是公司的员工，且是在执行工作任务过程中发生交通事故的，那么根据《民法典》的规定，用人单位的工作人员因执行工作任务造成他人损害的，由用人单位承担侵权责任。在这种情况下，公司不仅要在交强险限额内承担赔偿责任，还可能需要对超出交强险限额的部分承担赔偿责任。
   • 司机是否存在故意或重大过失的认定：虽然您提到司机存在重大过失，但在实际追偿过程中，公司可能会对司机是否存在重大过失提出异议。这需要您提供充分的证据来证明司机的过错程度，如交通事故认定书中的责任划分、现场监控视频、证人证言等。如果无法证明司机存在重大过失，可能会影响您追偿交强险限额内损失的效果。

建议：在处理此类问题时，建议您及时收集和保存相关证据，如交通事故认定书、医疗记录、费用单据等，以便在协商或诉讼过程中能够充分证明您的损失和公司的责任。如果您对具体的法律程序或证据收集有疑问，可以随时向我咨询，我会根据您的情况提供更详细的法律建议。