核心结论：公司车未投保交强险且司机存在重大过失时，赔偿责任的承担需分情况讨论，主要涉及公司对交强险赔偿限额的自行承担、司机重大过失导致的公司追偿权，以及司机与公司内部责任划分三个层面。以下分情况详细说明：

1. 公司需自行承担交强险赔偿限额内的责任

根据《机动车交通事故责任强制保险条例》第二条及《民法典》第1213条，机动车必须投保交强险，未投保的，发生交通事故后，本应由交强险赔偿的部分（如医疗费1.8万元、死亡伤残赔偿18万元等），由公司自行承担。

• 法律依据：
  
  • 《民法典》第1213条：“未依法投保交强险的机动车发生交通事故造成损害，当事人请求投保义务人在交强险责任限额范围内予以赔偿的，人民法院应予支持。”
    
  • 《机动车交通事故责任强制保险条例》第2条：“在中华人民共和国境内道路上行驶的机动车的所有人或者管理人，应当依照《中华人民共和国道路交通安全法》的规定投保机动车交通事故责任强制保险。”
    
• 示例：若事故造成第三方医疗费2万元，公司需先自行承担1.8万元（交强险医疗费限额），剩余2000元按过错比例分担。

2. 司机重大过失时，公司可向司机追偿超出交强险限额的部分

若司机因重大过失（如酒驾、超速、故意违章等）导致事故，公司承担交强险限额外的赔偿责任后，有权向司机追偿。

• 法律依据：
  
  • 《民法典》第1191条：“用人单位的工作人员因执行工作任务造成他人损害的，由用人单位承担侵权责任；用人单位承担侵权责任后，可以向有故意或者重大过失的工作人员追偿。”
    
  • 《最高人民法院关于审理人身损害赔偿案件适用法律若干问题的解释》第9条：“雇员在从事雇佣活动中致人损害的，雇主应当承担赔偿责任；雇员因故意或者重大过失致人损害的，应当与雇主承担连带赔偿责任。雇主承担连带赔偿责任的，可以向雇员追偿。”
    
• 关键点：
  
  • 需证明司机存在“重大过失”（如交警事故认定书、监控录像、酒精检测报告等）；
    
  • 追偿范围为公司实际赔偿金额中超出交强险限额的部分（如医疗费2000元、车辆维修费等）。

3. 司机与公司内部责任划分需结合具体情节

若司机与公司存在劳动关系（如全职员工），公司承担赔偿责任后，追偿比例需根据司机过错程度、公司管理责任等因素综合判定；若司机为临时雇佣或挂靠关系，责任划分可能更复杂。

• 常见情形：
  
  • 司机全责：公司可全额追偿超出交强险限额的部分；
    
  • 司机主责：公司可能按比例追偿（如司机承担70%，公司承担30%）；
    
  • 公司管理过错：若公司未尽到安全培训、车辆维护等义务，可能减轻司机追偿比例。
    
• 建议：公司应保留车辆维护记录、司机培训记录等证据，以证明自身无管理过错。

总结建议

1. 公司层面：立即补缴交强险（虽事故后补缴不影响本次责任，但可避免后续风险），并保留事故处理相关证据（如交警认定书、赔偿凭证）；
   
2. 司机层面：若被公司追偿，可主张公司存在管理过错（如未提供安全车辆、未培训等）以减少赔偿比例；
   
3. 协商优先：双方可先协商赔偿比例，若协商不成，可通过诉讼由法院根据过错程度判定。
   

如有进一步细节（如事故责任认定、司机具体过错行为等），可向我补充说明，我会为您细化分析。