结论前置：执行董事的公司不可以不设监事。即使公司设立了执行董事，也必须设立监事以确保公司治理结构的完整性和监督的有效性。
一、法律依据与设立原则
根据《中华人民共和国公司法》的相关规定，对于股东人数较少或规模较小的有限责任公司，可以设一名执行董事，不设董事会。但同时，这类公司也应当设立一至二名监事，而不设立监事会。这一规定明确了监事在公司治理结构中的必要性，即使公司规模较小或股东人数较少，也不能省略监事的设置。
二、设立监事的必要性分析
监督权力行使：
- 执行董事在公司中拥有广泛的经营管理和决策权力，其决策和行为对公司的运营和发展具有直接影响。
- 监事的设置可以对执行董事的权力行使进行监督和制约，防止其滥用职权、谋取私利或做出损害公司和股东利益的行为。
- 例如，监事可以审查执行董事的决策是否符合公司的长远利益，是否充分考虑了风险因素，从而确保公司决策的合理性和稳健性。
保障股东权益：
- 监事代表股东对公司的经营管理进行监督，确保公司的运营符合股东的利益和期望。
- 当执行董事的决策与股东利益发生冲突时，监事可以发挥监督作用，维护股东的合法权益。
- 如在利润分配、股权转让等关键问题上，监事可以审查执行董事的决策是否公平、合理，是否充分保护了股东的利益。
完善公司治理结构：
- 监事作为公司治理结构中的重要组成部分，与执行董事、经理等共同构成了相互制衡的机制。
- 这种制衡机制有助于提高公司决策的科学性和民主性，促进公司的健康发展。
- 监事可以提供独立的意见和建议，使公司在重大决策过程中更加全面和合理，避免单一决策者可能带来的偏见和错误。
三、执行董事与监事的职能与关系
- 执行董事的职能：执行董事负责公司的日常经营管理和决策制定，组织实施年度经营计划和投资方案等。
- 监事的职能：监事则专注于监督功能，对公司的财务状况、管理层的履职情况进行监督，提出质询和建议。当发现董事、高级管理人员的行为损害公司利益时，监事有权要求纠正。
- 关系：执行董事与监事之间形成明确的监督与被监督关系。这种关系确保了公司治理结构的平衡和稳定，防止了权力滥用和内部腐败的发生。
四、不设监事的法律后果
如果公司不设立监事，将可能面临以下法律后果：
- 违反公司法规定：根据《中华人民共和国公司法》的相关规定，公司不设立监事将违反法律法规的强制性要求，可能面临行政处罚或法律诉讼。
- 损害股东利益：没有监事的监督，执行董事的权力可能得不到有效制约，从而做出损害股东利益的行为。这将影响公司的声誉和长期发展。
- 影响公司治理结构：监事的缺失将破坏公司治理结构的完整性和平衡性，降低公司决策的科学性和民主性。这可能导致公司内部矛盾加剧，影响公司的稳定运营。
综上所述，执行董事的公司不可以不设监事。为了保障公司治理结构的完整性和监督的有效性，公司必须设立监事来履行监督职责。如果你在这方面有任何疑问或需要进一步的法律帮助，请直接向我咨询。