非法收购、持有野生动物制品被抓后，一般会被关押在当地的看守所。以下是对此问题的详细分析：
一、关押地点的一般规定
在刑事诉讼中，对于被刑事拘留或逮捕的犯罪嫌疑人，通常会被关押在当地的看守所。看守所是羁押依法被逮捕、刑事拘留的犯罪嫌疑人的机关，其任务是依据国家法律对被羁押的犯罪嫌疑人实行武装警戒看守，保障安全，并对犯罪嫌疑人进行教育，管理犯罪嫌疑人的生活和卫生，保障侦查、起诉和审判工作的顺利进行。
二、非法收购、持有野生动物制品案件的特殊性
非法收购、持有野生动物制品属于破坏野生动物资源类的犯罪，这类案件通常由公安机关的森林公安部门或环保部门负责侦查。在侦查过程中，如果犯罪嫌疑人被刑事拘留或逮捕，他们同样会被关押在当地的看守所。
三、关押期间的法律程序
刑事拘留：公安机关在侦查过程中，如果认为犯罪嫌疑人符合刑事拘留的条件，可以对其采取刑事拘留措施。刑事拘留的期限一般不超过37日，在此期间，公安机关会进行进一步的侦查工作。
逮捕：如果公安机关认为犯罪嫌疑人应当逮捕，会向人民检察院提请批准逮捕。人民检察院审查后，如果认为符合逮捕条件，会作出批准逮捕的决定。逮捕后，犯罪嫌疑人会继续被关押在看守所，等待后续的侦查、起诉和审判。
侦查、起诉和审判：在关押期间，公安机关会继续进行侦查工作，收集证据，查明事实。侦查终结后，公安机关会将案件移送人民检察院审查起诉。人民检察院审查后，如果认为犯罪事实清楚，证据确实充分，会向人民法院提起公诉。人民法院会依法进行审判，并根据审判结果作出相应的判决。
四、可能的法律后果
非法收购、持有野生动物制品的行为，根据情节的严重程度，可能会构成不同的犯罪，如非法收购、运输、出售珍贵、濒危野生动物制品罪等。根据《中华人民共和国刑法》的相关规定，这些犯罪可能会面临有期徒刑、拘役、罚金等刑罚。
五、建议
如果您或您身边的人涉及此类案件，我建议您：
保持冷静：不要惊慌失措，尽量配合公安机关的调查工作。
及时咨询律师：在案件处理过程中，及时咨询专业律师，了解自己的权利和义务，以及案件的可能走向。
准备相关证据：如果可能的话，收集并保存与案件相关的证据，以便在后续的法律程序中维护自己的合法权益。
如果您有任何法律问题或需要进一步的法律帮助，请随时向我咨询。