结论：无证非法行医导致受伤，即便已经私了赔偿了钱，在特定情况下仍然可以追款。

分析如下：

1. 非法行医的法律性质：

   • 无证非法行医是违法行为，它违反了国家对医疗行业的管理规定，可能构成非法行医罪，需要承担刑事责任。同时，非法行医者因过错造成患者人身损害的，还应承担民事赔偿责任。

2. 私了赔偿的效力：

   • 私了赔偿通常是双方自愿达成的协议，旨在解决因非法行医导致的损害赔偿问题。然而，这种协议并不总是具有终局性。如果私了赔偿的金额明显低于实际损害，或者存在欺诈、胁迫等情形，受害者有权要求重新赔偿。

3. 可以追款的情形：

   • 赔偿不足：如果私了时赔偿的金额明显低于患者因非法行医所遭受的实际损失，患者有权要求非法行医者补足差额。
   • 新发现的损害：在私了后，如果患者发现新的损害或原有损害加重，且这些损害与非法行医行为有直接因果关系，患者可以要求非法行医者承担新的赔偿责任。
   • 协议无效或可撤销：如果私了协议存在欺诈、胁迫、重大误解或显失公平等情形，患者可以依法请求法院或仲裁机构撤销或变更该协议，并要求非法行医者重新赔偿。

4. 追款的途径：

   • 协商：患者可以首先尝试与非法行医者进行协商，看是否能够达成新的赔偿协议。
   • 调解：如果协商无果，患者可以寻求第三方调解机构的帮助，如医疗纠纷人民调解委员会等，进行调解。
   • 诉讼：如果调解也无法解决问题，患者可以向法院提起诉讼，要求非法行医者承担民事赔偿责任。在诉讼过程中，患者需要提供充分的证据证明非法行医行为的存在、损害结果的发生以及两者之间的因果关系。

建议：

• 在处理此类纠纷时，建议患者保留好所有与非法行医行为相关的证据，如医疗记录、诊断证明、费用单据等，以便在需要时提供证明。
• 如果患者对私了赔偿的金额或协议内容有疑问，或者发现新的损害或原有损害加重，应及时咨询专业律师，了解自己的权利和义务，并寻求法律帮助。

法律后果：

• 如果非法行医者拒绝重新赔偿或协商无果，患者通过法律途径追款成功后，非法行医者不仅需要承担民事赔偿责任，还可能面临刑事责任的追究。

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