核心结论：在交通事故后家人开车送伤者就医，加油发票的开具对象需根据费用承担主体和报销需求来确定，以下是具体分析：

1. 若费用由家人自行承担且无需报销
   若家人出于亲情自愿承担送医过程中的加油费用，且不涉及向保险公司、肇事方或工作单位等第三方索赔，发票开具谁的名字并无严格限制。从实务角度，建议开具实际付款人（即家人）的姓名或车牌号对应的车主姓名，以便后续财务记录清晰。

2. 若费用需向保险公司或肇事方索赔

   • 保险公司理赔：若事故车辆投保了车上人员责任险或交强险，且送医行为与事故直接相关，加油费可能被认定为“合理施救费用”。此时需提供发票作为索赔依据，发票应开具为车主姓名（即被保险人），并与行驶证、保险单信息一致，否则可能因主体不符被拒赔。
     
   • 肇事方赔偿：若向全责方主张赔偿，加油费属于“因事故产生的必要交通费”。发票开具对象需与索赔主体一致，若由家人垫付，可要求肇事方直接补偿给家人，或由家人开具发票后通过诉讼/协商主张权利。

3. 若费用需通过医保或商业保险报销

   • 医保报销：加油费通常不属于医保报销范围，但若因急诊等特殊情况产生，需提供发票作为辅助材料。此时发票开具对象应为实际付款人（家人），并附说明送医原因。
     
   • 商业保险：若家人购买了意外险或医疗险，且保单覆盖“紧急救援费用”，需按保险公司要求开具发票（通常为被保险人姓名或指定受益人）。

实务建议：

• 优先保留原始发票，并记录送医时间、地点、事由（如“因XX事故送XX医院救治”），以证明费用合理性。
  
• 若涉及多方索赔，可提前与保险公司、肇事方或单位沟通发票开具要求，避免后续纠纷。
  
• 若发票已开具他人姓名，可通过补充说明、公证或协商等方式解决主体不符问题，但可能增加举证成本。
  

如有其他细节需进一步分析（如事故责任划分、保险条款等），可直接向我咨询。