结论：事业单位在职人员离退休五个月时，单位一般无权随意解除劳动合同，但特定情形下可能存在例外。以下从不同角度进行分析：
一、一般原则：单位无权随意解除
根据《中华人民共和国劳动合同法》的相关规定，劳动者在达到法定退休年龄或者开始依法享受基本养老保险待遇时，劳动合同终止。在事业单位在职人员离退休五个月这个时间点，如果劳动者尚未达到法定退休年龄或者尚未开始依法享受基本养老保险待遇，那么其与单位之间的劳动合同仍然有效，单位无权随意解除。
二、特定情形下的解除权
尽管存在上述一般原则，但在特定情形下，单位可能享有解除劳动合同的权利。这些情形通常包括：
劳动者严重违反单位规章制度：如果劳动者在离退休前严重违反了单位的规章制度，且该规章制度是合法有效的，单位有权依据规章制度解除劳动合同。
劳动者严重失职、营私舞弊，给单位造成重大损害：在这种情况下，单位也有权解除劳动合同，以保护自身的合法权益。
劳动者同时与其他用人单位建立劳动关系，对完成本单位的工作任务造成严重影响，或者经用人单位提出，拒不改正：如果劳动者在离退休前存在这种情况，单位同样有权解除劳动合同。
劳动者被依法追究刑事责任：如果劳动者在离退休前因犯罪被依法追究刑事责任，单位也有权解除劳动合同。
三、关于离退休的特殊情况
对于即将离退休的劳动者，单位在解除劳动合同时需要特别谨慎。因为离退休劳动者往往已经为单位服务多年，且即将享受退休待遇，单位在解除劳动合同时应当充分考虑其特殊情况，避免引发不必要的劳动纠纷。
四、法律建议
对于单位：在解除与即将离退休劳动者的劳动合同时，应当确保解除行为符合法律法规的规定，避免违法解除带来的法律风险。如果确实需要解除劳动合同，应当与劳动者进行充分沟通，并依法支付经济补偿。
对于劳动者：如果单位在离退休前无故解除劳动合同，劳动者有权依法维护自己的合法权益。可以向劳动争议调解委员会申请调解，或者向劳动争议仲裁委员会申请仲裁，对仲裁裁决不服的，还可以向人民法院提起诉讼。
总结：事业单位在职人员离退休五个月时，单位一般无权随意解除劳动合同。但在特定情形下，如劳动者严重违反规章制度、严重失职等，单位可能享有解除权。在处理此类问题时，建议单位和劳动者都充分了解相关法律法规，并依法维护自己的合法权益。如果有任何疑问或需要进一步的法律帮助，可以直接向我咨询。