针对您提出的问题，结论如下：

1. 关于客户要求赔偿的问题：

   • 客户因洗脸巾漏打日期而要求赔偿，这主要取决于漏打日期是否构成产品缺陷或违反相关法律法规，以及是否因此给客户造成了实际损失。如果漏打日期确实违反了《产品质量法》等相关规定，且客户能证明因此受到了损失（如因使用过期产品导致健康问题），那么客户有权要求赔偿。但赔偿的具体金额和方式需根据实际情况和法律规定来确定。

2. 关于工商局是否会罚款的问题：

   • 可能面临罚款的情况：根据《产品质量法》的相关规定，生产者、销售者应当在其生产、销售的产品上标注真实、准确的产品标识，包括生产日期、保质期等。如果洗脸巾漏打日期，且这一行为被工商局认定为违反了产品质量法的相关规定，那么工商局有权对生产者或销售者进行罚款。罚款的金额和具体处罚措施将依据违法行为的严重程度、造成的后果以及相关法律法规的规定来确定。
   • 可能不面临罚款的情况：如果漏打日期是由于疏忽或技术原因造成的，且生产者或销售者能够及时采取措施进行更正，并未造成严重后果，那么工商局可能会根据具体情况决定不予罚款或给予较轻的处罚。此外，如果生产者或销售者能够证明漏打日期并未影响产品的质量和安全性，也可能减轻或免除处罚。

法律背景与建议：

• 法律背景：根据《产品质量法》第二十七条：“产品或者其包装上的标识必须真实，并符合下列要求：……（四）限期使用的产品，应当在显著位置清晰地标明生产日期和安全使用期或者失效日期；……”。如果违反这一规定，工商局有权依据相关法律法规进行处罚。

• 建议：

  • 对于生产者或销售者：应立即检查所有产品，确保产品标识的完整性和准确性。如果发现漏打日期等问题，应及时更正并通知客户。同时，加强内部管理，防止类似问题再次发生。
  • 对于客户：如果因使用漏打日期的产品而受到损失，可以保留相关证据（如购买凭证、产品照片、医疗证明等），并与生产者或销售者协商赔偿事宜。如果协商无果，可以向工商局投诉或寻求法律途径解决。

后续行动建议：

• 如果您是生产者或销售者，建议立即对产品进行自查，并加强产品质量管理，确保产品标识的完整性和准确性。
• 如果您是客户，且因使用漏打日期的产品而受到损失，建议保留相关证据，并与生产者或销售者协商赔偿事宜。如果协商无果，可以向当地工商局投诉或咨询专业律师以寻求法律帮助。

如有任何进一步的问题或需要更详细的法律建议，请直接向我咨询。