可以请律师。在涉嫌寻衅滋事罪被指定居所监视居住期间，犯罪嫌疑人有权委托律师作为辩护人，这是法律赋予的基本权利，具体分析如下：

1. 法律依据
   根据《刑事诉讼法》第三十四条，犯罪嫌疑人自被侦查机关第一次讯问或者采取强制措施之日起，有权委托辩护人。指定居所监视居住属于强制措施的一种，因此犯罪嫌疑人自被采取该措施之日起即可委托律师。

2. 律师的作用

   • 会见权：律师可持“三证”（律师执业证书、委托书、律师事务所证明）会见犯罪嫌疑人，了解案情、提供法律咨询，并告知其依法享有的权利（如申请变更强制措施、沉默权等）。
     
   • 申请取保候审：若符合条件（如可能判处轻刑、无社会危险性等），律师可代为申请取保候审，争取变更强制措施。
     
   • 监督程序合法性：律师可监督侦查活动是否合法，防止刑讯逼供、超期羁押等违法行为，保障犯罪嫌疑人合法权益。
     
   • 提交法律意见：律师可向侦查机关提交书面法律意见，就案件定性、证据收集等提出专业观点，影响案件走向。

3. 实务建议

   • 及时委托：指定居所监视居住期间，犯罪嫌疑人与外界隔离，信息传递受限，建议家属尽快委托律师介入，避免错过关键辩护时机。
     
   • 选择专业律师：寻衅滋事罪涉及“随意殴打”“追逐拦截”等行为认定，需律师熟悉相关司法解释及地方裁判规则，提高辩护效果。
     
   • 配合律师工作：犯罪嫌疑人应如实向律师陈述案情，避免隐瞒或虚构事实，以便律师制定有效辩护策略。

若您或家人涉及此类案件，可直接向我咨询具体程序及辩护要点，我将结合案情提供详细法律方案。