结论：在母亲写好遗嘱将房子给儿子用于出租的情况下，签订租赁合同时是否签母亲的名字，需根据母亲是否仍为房屋所有权人以及遗嘱的生效时间等因素综合判断。以下分情况详细说明：

1. 若母亲仍为房屋所有权人，且遗嘱尚未生效：

   • 法律背景：根据《民法典》的相关规定，遗嘱是遗嘱人死亡时才发生法律效力的法律行为。在遗嘱人死亡前，遗嘱所涉财产仍属于遗嘱人所有，遗嘱人有权处分该财产，包括出租。
   • 建议：在此情况下，签订租赁合同时应签母亲的名字，因为母亲仍是房屋的所有权人，有权以自己的名义出租房屋。儿子作为遗嘱继承人，在遗嘱生效前并不享有房屋的所有权，因此无权以自己的名义签订租赁合同。
   • 可能后果：如果儿子擅自以自己的名义签订租赁合同，可能构成无权处分，导致合同效力待定或无效，给出租方和承租方都带来不必要的法律风险。

2. 若母亲已去世，遗嘱已生效，且儿子已成为房屋所有权人：

   • 法律背景：遗嘱生效后，儿子作为遗嘱继承人取得房屋的所有权。此时，儿子有权以自己的名义出租房屋。
   • 建议：在此情况下，签订租赁合同时应签儿子的名字，因为儿子已是房屋的所有权人，有权以自己的名义签订租赁合同。
   • 可能后果：如果仍签母亲的名字，而母亲已去世，则合同可能因主体不适格而无效，给承租方带来损失，同时也可能引发法律纠纷。

3. 特殊情况考虑：

   • 遗嘱执行与房屋管理：如果母亲在遗嘱中指定了遗嘱执行人或房屋管理人，且该执行人或管理人负责房屋的出租事宜，那么签订租赁合同时应签遗嘱执行人或房屋管理人的名字，但需确保其有相应的授权。
   • 共有财产情况：如果房屋为母亲与他人共有，且遗嘱仅处分了母亲所占份额，那么签订租赁合同时需考虑共有人的意见和权益，可能需要共有人共同签字或出具同意出租的书面文件。

额外建议：

• 在签订租赁合同前，建议先确认房屋的所有权状况以及遗嘱的生效情况，确保签订合同的主体适格。
• 如果涉及复杂的法律关系或不确定的法律问题，建议咨询专业律师（即向我咨询）以获取更准确的法律意见和帮助。

总结：签订租赁合同时应签谁的名字，需根据房屋的所有权状况以及遗嘱的生效情况等因素综合判断。在不确定的情况下，建议咨询专业律师以避免法律风险。