结论：在已婚情况下生育私生子，出生证明上是否可以不写父亲信息，这主要取决于具体情况和当地的相关规定。一般来说，出生证明上父亲信息并非强制填写项，但具体操作可能因地区而异。

分析说明：

1. 出生证明的填写要求：

   • 出生证明是记录新生儿出生信息的重要法律文件，通常包括新生儿的姓名、性别、出生时间、出生地点以及父母的基本信息。
   • 在大多数情况下，出生证明上父母的信息并非全部强制填写，尤其是父亲信息。如果父母双方未结婚或存在其他特殊情况，母亲可以选择不填写父亲信息。

2. 已婚生育私生子的情况：

   • 在已婚状态下生育私生子，即非婚生子女，其法律地位与婚生子女相同，享有同等的权利。
   • 对于出生证明的填写，如果母亲选择不透露父亲的身份或父亲不愿意被记录在出生证明上，母亲有权决定不填写父亲信息。但这一决定可能受到当地法律法规或医院规定的限制。

3. 地区差异与具体操作：

   • 不同地区对于出生证明的填写要求可能存在差异。有些地区可能要求必须填写父亲信息，而有些地区则可能允许母亲自主决定。
   • 在实际操作中，母亲应咨询当地医院或相关部门，了解具体的填写要求和流程。

4. 法律后果与考虑因素：

   • 不填写父亲信息可能对未来子女的户籍登记、继承权等产生一定影响。因此，在做出决定前，母亲应充分考虑这些因素。
   • 如果未来需要证明子女的亲子关系或父亲的身份，可能需要通过其他法律手段（如亲子鉴定）来确认。

特殊场景：

• 如果母亲希望保留父亲信息的记录，但父亲不愿意配合或无法联系到父亲，母亲可以咨询当地医院或相关部门，了解是否有其他方式可以记录父亲信息或保留相关证据。
• 在某些情况下，如果父亲的身份对子女的权益有重要影响（如继承权、抚养权等），母亲可能需要通过法律途径来确认父亲的身份并保障子女的权益。

行动建议：

• 在决定是否填写父亲信息前，母亲应充分了解当地的相关规定和流程，并考虑未来可能产生的法律后果。
• 如果母亲对出生证明的填写有任何疑问或需要进一步的法律建议，可以直接向我咨询，我将根据具体情况提供专业的法律意见。