结论：用A辖区执照在B辖区签订前期物业服务合同并开展物业服务，这一行为是否合法，需结合具体情况分析，一般情况下，若未取得B辖区相关资质或未履行必要备案手续，可能涉嫌违法。以下从不同角度进行详细分析：
一、从资质与备案角度分析
资质要求：
- 物业服务企业通常需在注册地取得相应的物业服务资质，这是开展物业服务活动的基本前提。
- 若A辖区的物业服务企业未在B辖区取得相应的物业服务资质，或未按照B辖区的要求进行资质认证，则其在B辖区开展物业服务可能涉嫌违法。
备案手续：
- 根据相关法律法规，物业服务企业跨区域开展物业服务活动，通常需向服务所在地的房地产行政主管部门进行备案。
- 若A辖区的物业服务企业未在B辖区履行必要的备案手续，则其签订的前期物业服务合同及开展的物业服务活动可能面临合法性挑战。
二、从合同效力角度分析
合同签订主体：
- 前期物业服务合同的签订主体应为具备相应资质的物业服务企业和建设单位或业主大会。
- 若A辖区的物业服务企业不具备在B辖区开展物业服务的资质，或未履行备案手续，则其作为合同签订主体的合法性可能受到质疑。
合同内容合法性：
- 合同内容需符合法律法规的规定，不得违反公序良俗或损害社会公共利益。
- 若合同中存在违法条款，如超出法定收费标准、违反物业服务规范等，则合同可能被认定为无效或部分无效。
三、从实际执行与监管角度分析
实际执行情况：
- 即使合同签订主体具备相应资质并履行了备案手续，若在实际执行过程中存在违法行为，如擅自改变物业使用性质、挪用专项维修资金等，则仍可能面临法律制裁。
监管措施：
- 房地产行政主管部门有权对物业服务企业的经营活动进行监管，包括检查资质、备案情况、合同履行情况等。
- 若发现物业服务企业存在违法行为，监管部门有权采取责令改正、罚款、吊销资质等措施。
四、法律建议
核实资质与备案：
- A辖区的物业服务企业在B辖区开展物业服务前，应核实自身是否具备在B辖区开展物业服务的资质，并履行必要的备案手续。
审查合同内容：
- 签订前期物业服务合同时，应仔细审查合同内容，确保合同条款合法合规，避免存在违法条款或损害业主利益的条款。
遵守法律法规与规范：
- 在实际执行过程中，应严格遵守相关法律法规和物业服务规范，确保物业服务活动的合法性和规范性。
及时咨询与应对：
- 若遇到法律纠纷或监管问题，应及时咨询专业律师或相关监管部门，以便及时应对和解决。
总结：用A辖区执照在B辖区签订前期物业服务合同并开展物业服务，其合法性取决于多个因素，包括资质、备案、合同内容以及实际执行情况等。因此，建议物业服务企业在跨区域开展物业服务活动时，务必核实自身资质、履行备案手续、审查合同内容，并严格遵守相关法律法规和规范。如有任何疑问或需要进一步的法律帮助，请直接向我咨询。