结论：若公司与员工不存在雇佣关系，但未签订劳动合同，公司是否需要承担法律责任，需根据实际情况判断。若双方实际构成劳动关系，公司需承担未签劳动合同的法律责任；若双方不构成劳动关系，则公司无需承担此类责任。以下为详细分析：
一、若双方实际构成劳动关系
法律责任概述：
- 根据《中华人民共和国劳动合同法》的相关规定，用人单位自用工之日起即与劳动者建立劳动关系，并应当订立书面劳动合同。若未订立书面劳动合同，用人单位需承担一定的法律责任。
具体法律责任：
- 双倍工资赔偿：若公司未与员工签订书面劳动合同，且自用工之日起超过一个月不满一年，公司需向员工支付双倍工资作为赔偿。具体计算公式为：双倍工资差额 = 月工资 × 未签合同月数（最多11个月）。
- 补签劳动合同：公司应与员工补签书面劳动合同，以明确双方的权利和义务。
- 其他可能的责任：如因未签劳动合同导致员工权益受损，公司还可能需承担其他相应的法律责任，如支付经济补偿金等。
实际构成劳动关系的判断：
- 判断双方是否构成劳动关系，需综合考虑多种因素，如双方是否具有人身依附性、经济从属性、组织从属性等。若员工接受公司的管理、指挥和监督，从事公司安排的有报酬的劳动，且该劳动是公司业务的组成部分，则双方很可能构成劳动关系。
二、若双方不构成劳动关系
法律责任概述：
- 若双方不构成劳动关系，则公司无需承担未签劳动合同的法律责任。但需注意，双方可能构成其他法律关系，如劳务关系、承揽关系等，此时公司需根据具体法律关系承担相应的法律责任。
具体法律关系判断：
- 劳务关系：若员工为公司提供一次性或临时性的劳务服务，且双方不具有人身依附性、经济从属性等劳动关系特征，则双方可能构成劳务关系。此时，公司需按照劳务合同的约定支付劳务报酬，但无需承担未签劳动合同的法律责任。
- 承揽关系：若员工按照公司的要求完成一定的工作成果，并交付给公司，公司支付报酬，则双方可能构成承揽关系。此时，公司需按照承揽合同的约定支付报酬，但同样无需承担未签劳动合同的法律责任。
三、建议与风险提示
建议：
- 公司应尽快与员工明确双方的法律关系，并根据实际情况签订相应的合同或协议，以明确双方的权利和义务。
- 若双方构成劳动关系，公司应依法与员工签订书面劳动合同，并按时足额支付工资、缴纳社会保险等。
- 若双方不构成劳动关系，公司也应与员工签订书面协议，明确双方的权利和义务，以避免潜在的纠纷。
风险提示：
- 若公司未与员工签订书面合同或协议，且双方法律关系不明确，一旦发生纠纷，公司可能面临法律风险和经济损失。
- 公司应加强对员工的管理和培训，提高员工的法律意识，以避免因员工行为导致的法律风险。
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