结论：员工生病前期有请过假后期没有请假是否算旷工，以及公司是否可以辞退，需根据具体情况判断，不能一概而论。以下从不同角度进行分析：
一、是否构成旷工
请假制度与流程：
- 若公司有明确的请假制度，员工前期请假符合公司规定流程，但后期未按照流程请假，且未提供合理的解释或证明（如医疗证明等），则可能构成旷工。
- 若员工因病情突然恶化等紧急情况无法及时请假，且事后能提供合理的医疗证明或其他证据，则可能不构成旷工。
公司规章制度：
- 公司规章制度中应明确规定请假的流程、条件及旷工的定义。若员工行为符合规章制度中旷工的定义，则构成旷工。
- 若公司规章制度未明确规定或规定不明确，则需根据相关法律法规及行业惯例进行判断。
法律法规：
- 根据《中华人民共和国劳动法》及相关规定，员工因患病或非因工负伤需要停止工作医疗时，应根据本人实际参加工作年限和在本单位工作年限，给予一定的医疗期。在医疗期内，员工享有病假工资或疾病救济费，且公司不得随意解除劳动合同。
- 若员工未请假且未提供医疗证明等合理理由，且超出医疗期范围，则可能构成旷工。
二、公司是否可以辞退
旷工的严重性：
- 若员工旷工行为严重违反公司规章制度或法律法规，且达到公司规定的辞退条件，则公司可以辞退员工。
- 若员工旷工行为轻微或存在合理理由，则公司不得随意辞退员工。
辞退程序：
- 公司在辞退员工前，应依法履行相应的程序，如提前通知、听取员工意见、进行工会或职工代表大会讨论等。
- 若公司未依法履行辞退程序，则可能构成违法解除劳动合同，需承担相应的法律责任。
医疗期内的保护：
- 如前所述，员工在医疗期内享有病假工资或疾病救济费，且公司不得随意解除劳动合同。若员工在医疗期内被辞退，则公司可能构成违法解除劳动合同。
三、建议与措施
员工方面：
- 员工应严格遵守公司的请假制度，及时请假并提供合理的医疗证明或其他证据。
- 若因特殊情况无法及时请假，应事后及时补办请假手续并说明情况。
公司方面：
- 公司应制定明确的请假制度，并告知员工请假流程、条件及旷工的定义。
- 在辞退员工前，应依法履行相应的程序，确保辞退行为的合法性。
- 对于生病员工，应给予合理的医疗期，并在医疗期内不得随意解除劳动合同。
总结：员工生病前期有请过假后期没有请假是否算旷工以及公司是否可以辞退，需根据具体情况判断。员工应严格遵守公司的请假制度，公司也应依法履行相应的程序并给予员工合理的医疗期。如有任何疑问或需要进一步的法律帮助，请直接向我咨询。