在双方互相辱骂的情况下，派出所的处罚方式主要取决于辱骂行为的性质、情节和后果，具体可能涉及行政处罚或刑事处罚，同时也不排除民事赔偿的可能性。以下是对此问题的详细分析：
一、行政处罚
法律依据：
- 根据《中华人民共和国治安管理处罚法》第四十二条，公然侮辱他人或者捏造事实诽谤他人的行为，属于违法行为，可受治安管理处罚。
处罚措施：
- 情节较轻者：处五日以下拘留或者五百元以下罚款。这通常适用于辱骂行为尚未造成严重后果，且双方态度较为缓和的情况。
- 情节较重者：处五日以上十日以下拘留，可以并处五百元以下罚款。这适用于辱骂行为较为恶劣，如多次辱骂、使用恶劣手段、在公共场所辱骂等，或者造成了较为严重的社会影响。
处理流程：
- 调查取证：派出所接到报警后，会迅速出警到达现场，了解事件经过，并收集相关证据，包括询问双方当事人、现场证人，查看监控录像等。
- 调解尝试：在事实清楚、责任明确的基础上，民警会尝试对双方当事人进行调解，以促使双方达成和解协议，化解矛盾纠纷。
- 处理决定：如果调解不成或一方拒绝调解，派出所将依法对违法行为人作出行政处罚决定。
二、刑事处罚
侮辱罪：
- 法律依据：根据《中华人民共和国刑法》第二百四十六条，以暴力或者其他方法公然侮辱他人，情节严重的行为，构成侮辱罪。
- 刑罚：处三年以下有期徒刑、拘役、管制或者剥夺政治权利。情节严重通常指手段恶劣、后果严重，如造成精神失常、自杀等严重后果。
寻衅滋事罪：
- 法律依据：根据《中华人民共和国刑法》第二百九十三条，随意辱骂他人且情节恶劣、破坏社会秩序的行为，可构成寻衅滋事罪。
- 刑罚：处五年以下有期徒刑、拘役或者管制。若纠集他人多次实施，严重破坏社会秩序，则处五年以上十年以下有期徒刑，并可并处罚金。
刑事处罚的适用条件：
- 刑事处罚通常适用于辱骂行为情节严重，造成了严重后果或恶劣社会影响的情况。在决定是否追究刑事责任时，公安机关会综合考虑辱骂行为的性质、情节、后果以及社会影响等因素。
三、民事赔偿
法律依据：
- 根据《中华人民共和国民法典》，自然人的人身自由、人格尊严受法律保护。辱骂他人侵犯了对方的人格权，特别是名誉权，侵权方需承担消除影响、恢复名誉、赔礼道歉等民事责任。
赔偿方式：
- 双方可以通过协商、调解或诉讼等途径解决民事赔偿问题。如果辱骂行为给对方造成了经济损失或精神损害，侵权方还需承担相应的赔偿责任。
四、综合建议
- 保持冷静：在发生辱骂事件时，双方应保持冷静，避免事态进一步恶化。辱骂和冲突不仅不能解决问题，还可能使双方陷入更深的法律纠纷。
- 及时报警：如果辱骂行为严重，且双方无法自行解决，应及时向公安机关报警。公安机关会依法进行调查处理，并保护受害人的合法权益。
- 寻求法律帮助：如果对派出所的处理决定不服，或者认为自己的合法权益受到了侵害，可以寻求法律帮助，通过法律途径维护自己的权益。
最后需要强调的是，辱骂他人是不道德且违法的行为，不仅可能面临行政处罚或刑事处罚，还可能承担民事赔偿责任。因此，建议大家在日常生活中尊重他人，避免使用辱骂性语言，以维护和谐的社会秩序和人际关系。如果有任何法律问题或需要进一步的法律帮助，请随时向我咨询。