针对寻衅滋事引起的双方互骂，处罚情况需根据具体情节的轻重来判定，可能面临行政处罚或刑事处罚，同时若造成损害还需承担民事责任。以下从这三个层面进行详细分析：
一、行政处罚层面
法律依据：
- 根据《中华人民共和国治安管理处罚法》第二十六条及第四十二条第二项的规定，寻衅滋事及公然侮辱他人的行为将受到相应的行政处罚。
处罚方式：
- 若情节较轻，如公共场所因口角发生的轻微辱骂，可能面临五日以下拘留或五百元以下罚款；
- 若情节较重，如多次辱骂、持械辱骂、造成人员受伤或公私财物较大损失、纠集多人实施或造成较大社会影响等，可能面临五日以上十日以下拘留，并可并处五百元以下罚款；若情节特别严重，还可能面临十日以上十五日以下拘留，并可并处一千元以下罚款。
二、刑事处罚层面
法律依据：
- 根据《中华人民共和国刑法》第二百九十三条的规定，追逐、拦截、辱骂、恐吓他人，情节恶劣的，构成寻衅滋事罪。
处罚方式：
- 当辱骂行为达到“情节恶劣”标准时，如长期、多次辱骂导致他人精神严重受损或正常生活受影响，或在公共场所公然辱骂引起秩序混乱，将构成寻衅滋事罪，可能面临五年以下有期徒刑、拘役或者管制；
- 若纠集他人多次实施此类行为，严重破坏社会秩序，将处五年以上十年以下有期徒刑，并可并处罚金。
三、民事责任层面
法律依据：
- 我国民法及相关司法解释规定了名誉权、人格尊严的保护及侵权责任。
责任承担：
- 辱骂行为若导致他人名誉受损、精神受到伤害，受害者有权要求侵权者承担民事赔偿责任，包括赔偿损失、恢复名誉、消除影响等；
- 受害者可通过诉讼途径维护自身权益，法院将根据具体情况判决侵权者承担相应的民事责任。
总结与建议：
寻衅滋事引起的双方互骂，其法律后果可能涉及行政处罚、刑事处罚以及民事责任。因此，建议公众在日常生活中遵守法律法规，尊重他人的人格尊严和权利，避免使用侮辱性语言或行为来攻击或伤害他人。若遇到此类纠纷，应及时报警并配合相关部门进行调查处理。同时，对于涉及此类行为的当事人或其家属，建议尽快向我咨询，以便更全面地了解可能的法律后果，并确保合法权益得到充分保护。