结论：在合同纠纷涉及的鉴定程序中，如果鉴定机构在六月份通知您进行鉴定，您通常是有权申请延迟的，但具体能否延迟以及延迟的期限和条件，需要依据鉴定机构的规定、相关法律法规以及合同中的具体约定来确定。
分析说明：
鉴定机构的规定：
- 鉴定机构通常会有自己的鉴定流程和规定，包括鉴定的时间安排、当事人的配合义务等。
- 如果您因特殊原因（如健康问题、工作冲突等）无法在指定时间进行鉴定，您可以向鉴定机构提出延迟申请。
- 鉴定机构会根据您的具体情况和鉴定工作的安排，决定是否同意您的延迟申请以及延迟的期限。
相关法律法规：
- 在合同纠纷中，鉴定程序通常作为证据收集的一种方式，其进行需遵循相关法律法规的规定。
- 虽然具体的法律法规可能并未直接规定鉴定能否延迟，但鉴定程序应遵循公平、公正、合理的原则，确保当事人的合法权益得到保障。
- 如果因不可抗力或其他正当理由导致鉴定无法按时进行，当事人有权申请延迟，鉴定机构应予以考虑。
合同中的具体约定：
- 如果合同中明确约定了鉴定程序的时间、地点以及当事人的配合义务等，那么当事人应遵守合同约定。
- 如果合同中未明确约定或约定不明确，当事人可以协商确定鉴定程序的具体安排，包括延迟的可能性。
- 如果因一方当事人的原因导致鉴定无法按时进行，且该原因不属于不可抗力或其他正当理由，那么该当事人可能需承担相应的违约责任。
法律建议：
- 如果您希望延迟鉴定，建议您及时与鉴定机构沟通，说明延迟的原因和期限，并提交相关证明材料（如医疗证明、工作安排等）。
- 同时，您也应仔细审查合同中的相关条款，了解自己在鉴定程序中的权利和义务，以及可能面临的违约责任。
- 如果鉴定机构不同意您的延迟申请，或者您对鉴定机构的决定有异议，您可以考虑寻求法律援助或咨询专业律师，以维护自己的合法权益。
可能后果：
- 如果您未经鉴定机构同意擅自延迟鉴定，或者因您的原因导致鉴定无法按时进行且未提出合理理由，您可能需承担鉴定费用、违约责任等不利后果。
- 如果鉴定机构同意您的延迟申请，但延迟导致鉴定结果受到影响或鉴定工作无法顺利进行，您也可能需承担相应的责任。因此，在申请延迟时，您应充分考虑各种因素，确保延迟的合理性和必要性。