行政拘留的处罚权主要由公安机关行使，特定情况下由法律明确赋予行政拘留权的其他机关行使。以下是对这一问题的详细分析：
一、公安机关作为主要行使主体
法律依据：
- 根据《中华人民共和国治安管理处罚法》第九十一条的规定，治安管理处罚由县级以上人民政府公安机关决定，其中行政拘留是治安管理处罚的一种。
- 《中华人民共和国行政处罚法》第十八条也明确规定，限制人身自由的行政处罚权只能由公安机关和法律规定的其他机关行使。
具体执行机构：
- 县级以上人民政府公安机关是行政拘留决定的主要作出机关，负责审查案件事实、证据和适用法律，并依法作出拘留决定。
- 公安派出所在特定情况下（如警告或五百元以下罚款）可以作出处罚决定，但对于行政拘留，其并无直接决定权。公安派出所在发现违反治安管理行为时，通常会先进行调查取证，并将相关材料报送至所属的县级以上公安机关进行审批。
执行程序：
- 公安机关在作出行政拘留决定前，必须进行全面、客观的调查取证工作，收集相关证据材料。
- 在作出拘留决定前，公安机关应当告知当事人拟作出处罚的事实、理由及依据，并告知其依法享有的陈述权和申辩权。
- 拘留决定作出后，公安机关应当及时将决定书送达被拘留人，并按照规定的程序将被拘留人送至拘留所执行。
二、法律赋予行政拘留权的其他机关
- 除了公安机关外，某些特定机关在法律规定的情况下也享有行政拘留权。这种权力的赋予是基于特定领域的需要，并且必须由法律明确规定。
- 例如，海关对于走私行为尚不构成犯罪的，根据相关法律规定，也有权对违法当事人作出行政拘留的处罚决定。
三、行政拘留的特点与限制
严厉性：
- 行政拘留是行政处罚中最严厉的一种，通常适用于严重违反治安管理但不构成犯罪，且警告、罚款等处罚不足以惩戒的情况。
期限限制：
- 行政拘留的期限一般在1日以上15日以内。特殊情况下，虽然期限可能有所延长，但不得超过法定的上限。
权利保障：
- 被行政拘留的人仍然享有选举权和被选举权等政治权利（除非被依法剥夺）。
- 他们也有权依法申请行政复议或提起行政诉讼，以维护自己的合法权益。
总结与建议：
行政拘留的处罚权行使必须严格遵循法定程序和条件，确保决定的合法性和正当性。同时，被行政拘留的人也享有相应的权利保障，以确保其合法权益不受侵犯。如果您或他人面临行政拘留的情况，建议及时了解相关法律规定和程序要求，并在必要时寻求专业法律帮助以维护自身权益。如有任何疑问或需要进一步的法律咨询，请直接向我提问。