结论：不动产违规搭建被限制权利的情况下，其合法部分原则上是可以进行首次登记的，但具体能否登记还需根据违规搭建的实际情况、相关法律法规以及登记机构的具体要求来综合判断。
分析说明：
合法部分与违规部分的区分：
- 不动产的合法部分，指的是符合规划、建设、消防等相关法律法规要求，已经取得相应合法手续（如规划许可证、施工许可证、竣工验收合格证等）的部分。
- 违规部分，则是指未按照相关法律法规要求进行建设，未取得相应合法手续，或者存在其他违法违规行为的建筑部分。
首次登记的原则：
- 首次登记，通常指的是不动产权利人首次向不动产登记机构申请办理不动产登记的行为。
- 根据《不动产登记暂行条例》等相关法律法规，不动产登记机构应当依法对不动产的权属、面积、用途等进行审核，并办理登记手续。对于合法部分，只要符合登记条件，登记机构应当予以登记。
违规搭建对登记的影响：
- 违规搭建本身并不影响合法部分的权属和登记资格。但是，如果违规搭建部分与合法部分在物理上无法分割，或者违规搭建部分的存在影响了合法部分的使用和安全，那么登记机构可能会要求权利人先对违规搭建部分进行处理（如拆除、整改等），然后再对合法部分进行登记。
- 另外，如果违规搭建部分已经受到了相关行政处罚（如罚款、责令拆除等），并且权利人已经履行了相应的处罚义务，那么这通常不会成为阻碍合法部分登记的理由。
登记机构的具体要求：
- 不同地区的不动产登记机构可能对违规搭建情况下的登记有不同的具体要求。有些地区可能要求权利人提供违规搭建部分的整改方案或承诺书，以确保违规部分不会对合法部分造成影响；有些地区则可能要求权利人先拆除违规部分，然后再进行登记。
行动建议：
- 如果您的不动产存在违规搭建情况，但希望对其合法部分进行首次登记，建议您先咨询当地的不动产登记机构，了解其对违规搭建情况下的登记要求和流程。
- 根据登记机构的要求，准备相应的材料（如规划许可证、施工许可证、竣工验收合格证、违规搭建部分的整改方案或承诺书等），并按照要求进行申请。
- 如果违规搭建部分确实影响了合法部分的登记，您可能需要先对违规部分进行处理（如拆除、整改等），然后再进行登记申请。
法律后果提示：
- 如果您未按照相关法律法规要求对违规搭建部分进行处理，而擅自对合法部分进行登记申请，可能会面临登记机构不予受理、要求整改或撤销登记等法律后果。
- 另外，如果违规搭建部分存在安全隐患或影响了其他业主的合法权益，您还可能面临行政处罚或民事赔偿等法律责任。因此，建议您在处理违规搭建问题时，务必遵守相关法律法规要求，确保合法合规。