结论前置：在仲裁裁决支付后，若义务人未履行裁决，权利人可以依法直接向法院申请强制执行，而无需再提起诉讼。这一规定主要依据《中华人民共和国劳动争议调解仲裁法》以及《中华人民共和国民事诉讼法》的相关条款。
详细解释与法律依据：
法律依据一：《中华人民共和国劳动争议调解仲裁法》
- 第五十一条：当事人对发生法律效力的调解书、裁决书，应当依照规定的期限履行。一方当事人逾期不履行的，另一方当事人可以依照民事诉讼法的有关规定向人民法院申请执行。受理申请的人民法院应当依法执行。
- 解释：此条款明确规定了，当劳动争议仲裁裁决生效后，若一方未履行，另一方有权直接向法院申请执行，无需再经过诉讼程序。
法律依据二：《中华人民共和国民事诉讼法》
- 第二百四十七条：发生法律效力的民事判决、裁定，以及刑事判决、裁定中的财产部分，由第一审人民法院或者与第一审人民法院同级的被执行的财产所在地人民法院执行。法律规定由人民法院执行的其他法律文书，由被执行人住所地或者被执行的财产所在地人民法院执行。
- 解释：此条款为执行程序的一般规定，适用于包括劳动争议仲裁裁决在内的多种法律文书的执行。它说明了执行法院的选择原则，即通常由第一审法院或与其同级的被执行财产所在地法院执行。
申请执行的流程与注意事项：
流程：
- 准备申请执行的材料，包括仲裁裁决书、生效证明（如有需要）、申请执行书等。
- 向有管辖权的人民法院提交申请执行的材料。
- 法院审查材料，符合条件的，立案执行。
- 法院采取执行措施，如查询、冻结、划拨被执行人的财产等。
注意事项：
- 确保仲裁裁决已经生效，即裁决书已经送达双方当事人，且过了法定的上诉期或复议期。
- 申请执行应当在法定的期限内提出，通常为裁决书生效后的一定期限内（具体根据当地法院规定）。
- 提供被执行人的财产线索，有助于法院更快地采取执行措施。
特殊情况处理：
- 如果被执行人提出异议，认为仲裁裁决存在错误或不应执行，法院将进行审查。若异议成立，法院可能裁定不予执行；若异议不成立，法院将继续执行。
- 在执行过程中，如果双方当事人达成和解协议，可以请求法院中止执行或按照和解协议履行。
总结与建议：
在仲裁裁决支付后，若义务人未履行，权利人应充分利用法律赋予的权利，直接向法院申请强制执行。这不仅可以节省时间和成本，还能更有效地维护自己的合法权益。在申请执行过程中，注意准备充分的材料，遵循法定程序，并积极配合法院的工作。如有任何疑问或需要进一步的法律帮助，可以直接向我咨询。