明确享有追偿权后，可以直接申请执行，但前提是已有生效的官方法律文书明确了追偿权。具体来说：
若已有生效的官方法律文书：如法院裁决书、调解书等，明确了追偿权及具体金额，则权利人可以直接依据此类已生效的法律文书，向法院申请强制执行，无须另行起诉。这是因为《中华人民共和国民事诉讼法》规定，发生法律效力的民事判决、裁定，当事人必须履行。一方拒绝履行的，对方当事人可以向人民法院申请执行。
若尚未有生效的官方法律文书：仅存在追偿事实，但未经法定诉讼程序确认追偿权益，则不能直接提起执行程序。在此情况下，权利人需要先通过诉讼程序，获得法院的判决或调解书，明确追偿权及具体金额后，才能依据该法律文书申请执行。
综上所述，能否直接申请执行追偿权，取决于是否已有生效的官方法律文书明确了追偿权。如有任何疑问或需要进一步的法律帮助，请直接向我咨询。