结论：公司是否可以不执行医院出具的休息一周的诊断书，需分情况讨论，主要取决于诊断书是否构成合法的病假证明以及公司的相关规章制度。
分析：
诊断书的法律效力：
- 医院出具的诊断书，特别是当它明确建议休息时，通常被视为员工因病需要休息的合法证明。这种证明在法律上具有一定的效力，是员工申请病假的重要依据。
公司的规章制度：
- 公司有明确规定：如果公司的规章制度中明确规定了病假的申请流程、所需证明材料以及审批程序，并且员工已经按照这些规定提交了诊断书作为病假证明，那么公司通常应当批准员工的病假申请。在这种情况下，公司不执行诊断书的建议（即不批准病假）可能构成违法。
- 公司无明确规定或规定模糊：如果公司没有明确的病假制度，或者制度中对于病假的证明材料、审批程序等规定模糊不清，那么公司对于是否批准病假可能有一定的自由裁量权。但即便如此，公司也不能随意拒绝员工的合理病假申请，特别是当员工已经提供了医院出具的诊断书时。
劳动法的相关规定：
- 根据《中华人民共和国劳动法》及相关规定，员工因病需要停止工作医疗时，企业应当根据员工本人实际参加工作年限和在本单位工作年限，给予一定的医疗期。在医疗期内，企业不得解除劳动合同，并应当按照规定支付病假工资或疾病救济费。因此，如果诊断书构成合法的病假证明，公司应当尊重并执行。
实际操作建议：
- 员工方面：如果公司拒绝执行诊断书的建议，员工可以首先与公司沟通，了解拒绝的具体原因，并尝试提供额外的证明材料（如更详细的医疗报告）来支持自己的病假申请。如果沟通无果，员工可以向当地的劳动监察部门投诉或申请劳动仲裁。
- 公司方面：公司应当建立完善的病假制度，明确病假的申请流程、所需证明材料以及审批程序。在收到员工的病假申请时，公司应当认真审核相关证明材料，并在合理时间内作出决定。如果公司认为诊断书不足以构成合法的病假证明，应当及时与员工沟通并说明理由，而不是简单地拒绝执行。
总结与建议：
公司是否可以不执行医院出具的休息一周的诊断书，取决于多种因素，包括诊断书的法律效力、公司的规章制度以及劳动法的相关规定。在大多数情况下，如果诊断书构成合法的病假证明，公司应当尊重并执行。如果公司对此有异议或拒绝执行，员工可以通过合法途径维护自己的权益。如有任何疑问或需要进一步的法律帮助，请直接向我咨询。