结论：第一顺序继承人去世后，其子女在一定条件下是可以继承财产的，这主要涉及到代位继承和转继承两种情况。
一、代位继承
定义与条件：
- 代位继承是指被继承人的子女先于被继承人死亡的，由被继承人的子女的直系晚辈血亲代位继承。
- 条件包括：被继承人的子女先于被继承人死亡；代位继承人必须是被继承人子女的直系晚辈血亲，如子女、孙子女、外孙子女等；代位继承只能发生在法定继承中，且代位继承人一般只能继承被代位继承人有权继承的遗产份额。
应用实例：
- 假设张先生去世，其有一子张小某先于张先生去世，张小某有一子张小小某。在此情况下，张小小某作为代位继承人，有权继承张小某本应继承的张先生的遗产份额。
二、转继承
定义与条件：
- 转继承是指继承开始后，继承人于遗产分割前死亡，并没有放弃继承的，该继承人应当继承的遗产转给其继承人，但是遗嘱另有安排的除外。
- 条件包括：继承已经开始；继承人在遗产分割前死亡；继承人没有放弃继承；遗嘱中没有另有安排。
应用实例：
- 假设李女士去世，其遗产由其配偶和子女继承。在遗产分割前，李女士的一子李小某去世，且李小某未放弃继承。在此情况下，李小某应继承的遗产份额将转由李小某的继承人（如李小某的配偶、子女等）继承。
三、特殊情况与注意事项
遗嘱继承与法定继承的区分：
- 如果被继承人留有有效遗嘱，且遗嘱中明确指定了继承人，那么遗产将按照遗嘱进行分配，不受法定继承顺序的限制。但在此情况下，如果遗嘱继承人先于被继承人死亡，且遗嘱中未指定其他继承人或替代方案，则该部分遗产可能按照法定继承处理。
多份遗嘱的效力：
- 如果被继承人留有多份遗嘱，且内容相互冲突，那么以最后一份有效遗嘱为准。这可能影响到遗产的分配方式和继承人范围。
继承权的丧失：
- 在某些情况下，继承人可能因故意杀害被继承人、遗弃被继承人或虐待被继承人等严重行为而丧失继承权。这同样会影响到遗产的分配。
四、建议与行动
了解家庭情况与遗嘱内容：
- 在处理遗产继承问题时，首先应了解被继承人的家庭情况、继承人范围以及遗嘱内容（如果有的话）。这有助于确定遗产的分配方式和可能涉及的继承人。
咨询专业律师：
- 遗产继承问题可能涉及复杂的法律关系和利益冲突。因此，在处理此类问题时，建议咨询专业律师以获取准确的法律意见和指导。作为专注于遗产继承领域的律师，我可以为你提供详细的法律咨询和帮助。
保留相关证据与文件：
- 在处理遗产继承问题时，应保留好与遗产相关的所有证据和文件，如遗嘱、死亡证明、亲属关系证明等。这些证据和文件在遗产分配过程中可能起到关键作用。