结论：公司违法解除劳动关系赔偿后，若发现新的违法事实，劳动者一般可以再次要求赔偿，但具体能否获得赔偿以及赔偿的范围和方式，需根据新违法事实的性质、与原解除行为的关联性以及相关法律法规的规定来确定。
分析说明：
新违法事实与原解除行为无直接关联：
- 如果新发现的违法事实与之前公司违法解除劳动关系的行为没有直接关联，例如，公司之前违法解除劳动关系，之后又发现公司存在未支付加班费、未缴纳社会保险等新的违法行为，那么劳动者可以就这些新的违法行为另行主张权利，要求公司进行相应的赔偿或补缴。
- 在这种情况下，劳动者可以依据《中华人民共和国劳动法》、《中华人民共和国劳动合同法》等相关法律法规，通过劳动仲裁或诉讼等途径，要求公司承担新的违法行为的法律责任。
新违法事实与原解除行为有直接关联：
- 如果新发现的违法事实与之前公司违法解除劳动关系的行为有直接关联，例如，公司之前以不合理的理由解除劳动关系，之后又发现公司解除劳动关系的真正原因是为了逃避支付经济补偿金或赔偿金等法定义务，那么劳动者可以主张公司之前的解除行为无效，并要求公司恢复劳动关系或支付相应的赔偿。
- 在这种情况下，劳动者需要证明新发现的违法事实与原解除行为之间的关联性，以及公司解除劳动关系的违法性。这可能需要劳动者提供充分的证据，如公司内部的文件、邮件、聊天记录等，来证明公司的违法行为。
赔偿范围和方式的确定：
- 无论新违法事实与原解除行为是否有关联，劳动者在主张赔偿时，都需要明确赔偿的范围和方式。赔偿的范围可能包括经济补偿金、赔偿金、未支付的工资、加班费、社会保险费等。
- 赔偿的方式可能包括一次性支付、分期支付或恢复劳动关系等。具体赔偿范围和方式的确定，需要根据相关法律法规的规定以及劳动者的实际情况和诉求来决定。
行动建议：
- 收集证据：劳动者在发现新的违法事实后，应及时收集相关证据，如公司内部的文件、邮件、聊天记录等，以证明公司的违法行为。
- 咨询律师：由于劳动纠纷涉及复杂的法律法规和程序，劳动者在主张权利前，建议咨询专业律师，了解自己的权利和义务，以及主张权利的途径和方式。
- 提起劳动仲裁或诉讼：在收集到充分证据并咨询律师后，劳动者可以向劳动仲裁机构提起劳动仲裁或向人民法院提起诉讼，要求公司承担相应的法律责任。
法律依据：
- 《中华人民共和国劳动法》第七十七条：用人单位与劳动者发生劳动争议，当事人可以依法申请调解、仲裁、提起诉讼，也可以协商解决。
- 《中华人民共和国劳动合同法》第四十八条：用人单位违反本法规定解除或者终止劳动合同，劳动者要求继续履行劳动合同的，用人单位应当继续履行；劳动者不要求继续履行劳动合同或者劳动合同已经不能继续履行的，用人单位应当依照本法第八十七条规定支付赔偿金。
- 《中华人民共和国劳动合同法》第八十七条：用人单位违反本法规定解除或者终止劳动合同的，应当依照本法第四十七条规定的经济补偿标准的二倍向劳动者支付赔偿金。