核心结论：若工伤补偿先行支付申请后相关部门以各种理由不审核，您可以通过行政监督、行政复议、行政诉讼等途径来维护自己的合法权益。以下是详细分析：
了解不审核的可能原因
- 材料不齐全或不符合要求：相关部门可能认为您提交的申请材料存在缺失、错误或者不符合规定的格式、内容等要求，因此不予审核。比如，缺少关键的医疗证明、工伤认定决定书等文件，或者文件上的信息填写不完整、不准确。
- 程序性问题：可能存在申请流程上的问题，例如您没有按照规定的渠道提交申请，或者没有在规定的时间内完成某些步骤。
- 对政策理解差异：相关部门工作人员可能对工伤补偿先行支付的政策理解存在偏差，导致认为您的申请不符合先行支付的条件。
应对措施
- 与相关部门沟通
- 主动联系：首先，您可以主动与负责审核的部门取得联系，通过电话、邮件或者当面沟通的方式，询问不审核的具体原因。在沟通时，要保持冷静和礼貌，详细说明自己的情况和对审核结果的疑问。
- 提供补充材料：如果是因为材料不齐全或不符合要求，根据部门的反馈，及时补充或修正相关材料，并再次提交申请。
- 申请行政监督
- 向上级部门反映：如果与审核部门沟通后问题仍未得到解决，您可以向该部门的上级主管部门反映情况。上级部门有责任对下级部门的工作进行监督和指导，可能会介入调查并督促下级部门依法履行审核职责。
- 提交书面申诉：为了更正式地表达您的诉求，您可以向上级部门提交书面申诉材料，详细阐述申请工伤补偿先行支付的事实、理由以及审核部门不审核的情况，并附上相关证据材料。
- 申请行政复议
- 复议条件：如果您认为审核部门不审核的行为侵犯了您的合法权益，且符合行政复议的受理条件，您可以向有管辖权的行政复议机关提出行政复议申请。一般来说，行政复议机关是审核部门的本级人民政府或者上一级主管部门。
- 复议流程：您需要在知道该具体行政行为之日起六十日内提出行政复议申请。申请时需要提交行政复议申请书、相关证据材料以及您的身份证明等文件。行政复议机关会对您的申请进行审查，并在规定的时间内作出行政复议决定。
- 提起行政诉讼
- 诉讼条件：如果经过行政复议后，您对复议结果仍然不满意，或者您认为直接提起行政诉讼更为合适，您可以在知道审核部门作出具体行政行为之日起六个月内向人民法院提起行政诉讼。
- 诉讼流程：您需要准备好起诉状、相关证据材料以及身份证明等文件，向有管辖权的人民法院提交。法院会对您的起诉进行审查，符合受理条件的会予以立案，并依法进行审理和判决。
注意事项
- 保留证据：在整个过程中，您要注意保留好与工伤补偿先行支付申请相关的所有证据材料，如申请材料、沟通记录、医疗证明等。这些证据将在后续的行政监督、行政复议或行政诉讼中起到关键作用。
- 关注时效：不同的维权途径都有相应的时效规定，您要密切关注这些时效要求，及时行使自己的权利，避免因超过时效而丧失维权的机会。
- 寻求专业帮助：如果您对相关的法律程序和规定不太熟悉，或者觉得处理起来比较复杂，可以考虑寻求法律专业人士的帮助，如律师或法律援助机构的工作人员。他们可以为您提供专业的法律建议和指导，帮助您更好地维护自己的合法权益。