结论：在此情况下，家人是否应承担法律责任，需根据具体情形来判断，一般情况下，若家人无故意或重大过失，通常不承担法律责任；但若存在故意或重大过失导致老人死亡，则可能需承担相应的法律责任。以下是对此问题的详细分析：
一、法律责任的一般原则
在侵权损害（人格权）领域，法律责任通常基于过错原则，即行为人因过错侵害他人民事权益，应当承担侵权责任。过错包括故意和过失两种形态。故意是指行为人预见到自己的行为会发生损害他人权益的结果，并且希望或者放任这种结果发生；过失则是指行为人应当预见自己的行为可能发生损害他人权益的结果，因为疏忽大意而没有预见，或者虽然已经预见但轻信能够避免。
二、家人行为的具体分析
无故意或重大过失的情形：
- 如果家人因为客观原因（如不在现场、无法及时联系到急救资源等）而未能及时抢救老人，且这些原因并非由家人的过错导致，那么家人通常不承担法律责任。
- 在突发疾病的情况下，家人可能因惊慌失措、缺乏急救知识或经验等原因而未能采取有效措施，但这些行为若未达到故意或重大过失的程度，也不构成法律上的责任。
存在故意或重大过失的情形：
- 如果家人明知老人突发疾病需要紧急抢救，却故意不理睬、拒绝电话或采取其他阻碍抢救的行为，导致老人因未能及时得到抢救而死亡，那么家人可能构成故意杀人罪（在极端情况下）或至少需承担因过失致人死亡的民事责任。
- 重大过失通常指的是行为人因疏忽大意或过于自信而未能尽到应有的注意义务，导致严重后果的发生。如果家人的行为符合重大过失的构成要件，也可能需承担相应的法律责任。
三、法律责任的承担方式
刑事责任：
- 如果家人的行为构成犯罪（如故意杀人罪或过失致人死亡罪），则需承担刑事责任，可能面临有期徒刑、拘役或罚金等刑罚。
民事责任：
- 无论家人的行为是否构成犯罪，如果因其过错导致老人死亡，都可能需承担民事责任，包括赔偿因老人死亡而产生的医疗费、丧葬费、死亡赔偿金等费用。
四、建议与注意事项
- 及时报警与求助：在老人突发疾病的情况下，家人应首先尝试联系急救资源（如拨打120急救电话），并尽快将老人送往医院进行抢救。
- 保留证据：如果家人认为自己的行为并未构成过错，或认为其他家庭成员存在过错，应尽可能保留相关证据（如通话记录、短信记录、现场照片等），以便在后续的法律程序中证明自己的清白或追究他人的责任。
- 咨询专业律师：在涉及法律责任的问题上，建议咨询专业律师以获取更具体、更准确的法律意见。
最后，每个案件的具体情况都有所不同，因此无法一概而论地判断家人是否应承担法律责任。如果您或您的家人面临类似的情况，建议直接向我咨询，以便根据具体情况提供更具体的法律建议。