留置措施的执行主要由监察机关负责，并可以根据工作需要提请公安机关配合。具体来说，留置的执行过程包含以下几个关键点：

首先，留置的审批权限：各级监察机关在采取留置措施时，必须经过本机关领导人员的集体研究决定，确保决策的公正性和合理性。对于设区的市级以下监察机关，如果决定采取留置措施，还需要报上一级监察机关进行批准；而省级监察机关在采取留置措施时，则应当报国家监察委员会进行备案。

其次，留置的执行主体：监察机关是留置措施的主要执行者。然而，由于监察机关并不配备类似检察院、法院的“法警”那样的强制执行队伍，因此在执行留置措施时，往往需要公安机关的协助。公安机关在接到监察机关的协助请求后，应当依法予以配合。

再次，公安机关的协助方式：公安机关协助监察机关执行留置主要有两种情况。一是在监察机关对被调查人采取留置措施，并将其带至留置场所的过程中，公安机关可能需要配合执行，以防止相关单位或个人的阻挠。二是在被调查人被留置在特定场所后，公安机关也可能需要派人进行看护，以确保被留置人员的安全，并保障留置期间讯问等相关调查工作的顺利进行。

最后，留置的期限和解除：留置的时间一般不得超过三个月，特殊情况下可以延长一次，但延长时间也不得超过三个月，因此留置期限最长不得超过六个月。如果监察机关发现采取留置措施不当，应当及时解除留置。

综上所述，留置措施的执行主要由监察机关负责，并可以根据需要提请公安机关配合。在执行过程中，必须严格遵守相关法律法规和程序规定，确保留置措施的合法性和有效性。