您好，关于证明母子关系的证明开具单位，这主要取决于您需要这份证明的具体用途以及您所在地区的具体规定。不过，我可以给您一个较为通用的解答。
一般情况下，证明母子关系的证明可以由以下单位开具：
公证机构：
- 如果您需要一份具有法律效力的母子关系证明，用于出国、继承、诉讼等场合，那么您需要前往公证机构进行公证。
- 根据《公证法》的规定，自然人可以向住所地、经常居住地、行为地或者事实发生地的公证机构提出亲属关系公证申请。
- 申请时，您需要提交有效身份证件（如居民身份证、户口簿等）、所在单位或人事部门出具的亲属关系证明（如果单位有相关要求），以及公证机构认为应当提交的其他材料。
公安派出所：
- 在某些情况下，如新生儿落户、户口迁移等，公安派出所也会出具母子关系证明。
- 这通常发生在需要证明亲子关系以进行户口登记或变更时。
- 您需要准备相关材料，如婴儿父母的居民户口簿、居民身份证、结婚证以及《出生医学证明》等，并按照当地公安派出所的要求进行申请。
具体选择哪个单位开具证明：
- 如果您需要一份具有广泛法律效力的证明，且用于较为正式的场合（如出国、诉讼等），建议您选择公证机构进行公证。
- 如果您只是需要一份用于日常事务（如学校报名、医疗就诊等）的母子关系证明，且当地公安派出所或社区服务中心能够提供此类证明，那么您也可以选择这些单位进行申请。
注意事项：
- 不同地区和不同单位对于开具母子关系证明的具体要求和流程可能有所不同，因此建议您在申请前先咨询相关单位或查阅当地的相关规定。
- 准备好所有必要的材料，并确保材料的真实性和完整性，以免因材料不全或虚假而导致申请被拒绝或延误。
希望这个解答能够对您有所帮助。如果您还有其他问题或需要进一步的帮助，请随时告诉我。