申请执行的起始时间，通常是从履行期限届满而对方未履行义务的那天开始计算，而非调解书作出之日或调解达成之日。以下是对这一问题的详细解释：
一、法律依据与理解
根据《中华人民共和国民事诉讼法》的相关规定，申请执行的期间为二年。申请执行时效的中止、中断，适用法律有关诉讼时效中止、中断的规定。而关于申请执行的起始时间，虽然法律条文没有直接说明是从“不给钱那天”还是“调解那天”开始算，但根据法律原则和实务操作，我们可以明确以下几点：
履行期限届满：如果调解书或判决书中明确了履行期限，那么申请执行的起始时间通常是从该期限届满而对方未履行义务的那天开始计算。例如，调解书中规定被告应在2023年12月31日前支付原告款项，若被告未在该日期前支付，则原告可以从2024年1月1日起申请执行。
无明确履行期限：如果调解书或判决书中没有明确履行期限，或者履行期限不明确，那么申请执行的起始时间可能会根据具体情况和法院的解释来确定。在这种情况下，建议咨询专业律师以获取更准确的指导。
二、实务操作与注意事项
及时申请执行：一旦发现对方未履行义务，且履行期限已经届满，应尽快向法院申请执行。因为申请执行时效是有限的，过期可能会丧失申请执行的权利。
准备相关证据：在申请执行时，需要准备调解书或判决书等生效法律文书作为执行依据，同时还需要提供对方未履行义务的相关证据，如转账记录、收据等。
关注执行进展：申请执行后，应关注法院的执行进展，及时与执行法官沟通，了解执行情况，以便在必要时采取进一步的法律措施。
三、特殊情况下的处理
调解书与判决书的区别：虽然调解书和判决书都是生效法律文书，但它们的形成过程和法律效力略有不同。调解书是双方当事人在法院主持下自愿达成的协议，而判决书则是法院根据事实和法律作出的裁决。不过，在申请执行方面，它们的基本原则和程序是相似的。
执行和解与中止执行：在执行过程中，双方当事人可能会达成执行和解协议。如果和解协议履行完毕，则执行程序终结；如果和解协议未履行或部分履行，则申请执行人可以申请恢复执行原生效法律文书。此外，如果存在法定中止执行的情形（如被执行人确无财产可供执行等），法院可能会裁定中止执行。
总结来说，申请执行的起始时间通常是从履行期限届满而对方未履行义务的那天开始计算。在实务操作中，建议及时申请执行、准备相关证据并关注执行进展。如有任何疑问或需要进一步的法律帮助，请直接向我咨询。